Аналіз размеркавання дадзеных з выкарыстаннем стандартнага адхілення
У статыстыцы недастаткова проста разумець «цэнтр» набору дадзеных. Два наборы дадзеных могуць мець аднолькавае сярэдняе значэнне, але іх характарыстыкі істотна адрозніваюцца з-за ступені рассейвання. Менавіта тут важнай становіцца канцэпцыя рассейвання дадзеных. Адной з самых папулярных, надзейных і часта выкарыстоўваных мер рассейвання ў розных галінах — ад адукацыі і эканомікі да аховы здароўя і навукі аб дадзеных — з'яўляецца стандартнае адхіленне. У гэтым артыкуле абмяркоўваецца канцэпцыя, разлік, інтэрпрэтацыя і выкарыстанне стандартнага адхілення для аналізу таго, наколькі дадзеныя рассейваюцца адносна свайго цэнтральнага значэння.
1. Чаму неабходна аналізаваць размеркаванне дадзеных?
Уявіце сабе два класы з сярэднім балам па матэматыцы 80. У класе А амаль усе вучні набралі ад 78 да 82 балаў. У класе Б некаторыя вучні набралі 50, а некаторыя — 100. Сярэднія паказчыкі аднолькавыя, але сітуацыі ў двух класах істотна адрозніваюцца. Клас А паказвае стабільныя вынікі, а клас Б — значную розніцу.
Аналізуючы размеркаванне, мы можам:
– Ацаніць паслядоўнасць або зменлівасць з'явы.
– Вымярэнне рызыкі (напрыклад, варыяцыі прыбытковасці інвестыцый).
– Параўнанне стабільнасці працэсу (напрыклад, якасці прадукцыі).
– Выяўляць патэнцыйныя анамаліі або экстрэмальныя дадзеныя.
Стандартнае адхіленне з'яўляецца асноўным інструментам для гэтай мэты, паколькі яно вымярае, наколькі дадзеныя адрозніваюцца ад сярэдняга значэння.
2. Вызначэнне стандартнага адхілення
Стандартнае адхіленне — гэта квадратны корань з дысперсіі. У той час як дысперсія вымярае сярэдняе значэнне квадратаў рознасці паміж дадзенымі і сярэднім значэннем, стандартнае адхіленне вяртае адзінкі вымярэння ў іх зыходную шкалу (напрыклад, вынікі тэстаў, кілаграмы, рупіі і г.д.). Гэта спрашчае інтэрпрэтацыю стандартнага адхілення.
Інтуітыўна:
– Невялікае стандартнае адхіленне → сабраныя дадзеныя блізкія да сярэдняга значэння (больш аднастайныя).
– Вялікае стандартнае адхіленне → дадзеныя раскіданыя далёка ад сярэдняга значэння (больш разнастайныя).
3. Формула стандартнага адхілення: агульная сукупнасць супраць выбаркі
У статыстыцы мы адрозніваем вылічэнне стандартнага адхілення для сукупнасці і выбаркі.
а) Стандартнае адхіленне папуляцыі (σ)
Калі аналізаваныя дадзеныя ахопліваюць усіх членаў генеральнай сукупнасці, формула мае наступны выгляд:
\[
σ = √(x_i – μ)²/N)
\]
інфармацыя:
– \(x_i\) = i-е значэнне дадзеных
– \(\mu\) = сярэдняе значэнне папуляцыі
– \(N\) = колькасць дадзеных аб папуляцыі
б) Стандартнае адхіленне выбаркі (s)
Калі аналізаваныя дадзеныя з'яўляюцца толькі часткай генеральнай сукупнасці (выбаркі), формула мае наступны выгляд:
\[
s = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n-1}}
\]
інфармацыя:
– \(\bar{x}\) = сярэдняе выбарка
– \(n\) = колькасць выбарачных дадзеных
– \(n-1\) называецца ступенямі свабоды (папраўка Беселя), якая выкарыстоўваецца для таго, каб ацэнка дысперсіі/стандартнага адхілення была незрушанай.
У паўсядзённай практыцы мы звычайна маем дадзеныя ў выглядзе выбарак, таму формула (n-1) выкарыстоўваецца вельмі часта.
4. Крокі для разліку стандартнага адхілення
Каб зразумець працэс, вось агульныя крокі для разліку стандартнага адхілення выбаркі:
1. Вылічыце сярэдняе значэнне (\(\bar{x}\)).
2. Вылічыце розніцу паміж кожнымі дадзенымі і сярэднім значэннем (\(x_i – \bar{x}\)).
3. Узвядзіце рознасць у квадрат \((x_i – \bar{x})^2\).
4. Складзіце ўсе квадраты.
5. Падзяліце на \(n-1\), каб атрымаць дысперсію выбаркі.
6. Узяўшы квадратны корань з выніку, атрымайце стандартнае адхіленне (s).
Просты прыклад
Выкажам здагадку, што значэнні дадзеных: 70, 75, 80, 85, 90 (n = 5)
– Сярэдняе: \(\bar{x} = (70+75+80+85+90)/5 = 80\)
– Розніца: -10, -5, 0, 5, 10
– Квадратычная рознасць: 100, 25, 0, 25, 100
– Колькасць квадратаў: 250
– Дысперсія выбаркі: \(250/(5-1)=62,5\)
– Стандартнае адхіленне: \(s=\sqrt{62,5}\прыблізна 7,91\)
Простая інтэрпрэтацыя: значэнні адхіляюцца ў сярэднім прыкладна на 7,91 пункта ад сярэдняга значэння 80.
5. Інтэрпрэтацыя стандартнага адхілення пры аналізе дадзеных
Стандартнае адхіленне не з'яўляецца асобным паняццем; яго значэнне залежыць ад кантэксту. Аднак некаторыя агульныя рэкамендацыі могуць быць карыснымі:
– Калі стандартнае адхіленне блізкае да 0, дадзеныя вельмі сканцэнтраваны вакол сярэдняга значэння.
– Калі стандартнае адхіленне вялікае, дадзеныя больш зменлівыя, што сведчыць пра неаднароднасць.
Стандартнае адхіленне таксама часта выкарыстоўваецца для:
– Параўнанне дзвюх груп: напрыклад, двух класаў з аднолькавым сярэднім значэннем, але рознымі стандартнымі адхіленнямі.
– Ацэнка стабільнасці працэсу: заводская вытворчасць з невялікім стандартным адхіленнем памеру прадукцыі азначае больш стабільную якасць.
– Вымярэнне валацільнасці: у фінансах стандартнае адхіленне прыбытковасці акцый часта выкарыстоўваецца ў якасці паказчыка рызыкі.
6. Сувязь паміж стандартным адхіленнем і нармальным размеркаваннем
У дадзеных, якія адпавядаюць нармальнаму размеркаванню, стандартнае адхіленне мае вельмі моцную інтэрпрэтацыю з дапамогай эмпірычнага правіла:
– Каля 68% дадзеных знаходзяцца ў дыяпазоне \(\bar{x} \pm 1s\)
– Каля 95% дадзеных знаходзяцца ў дыяпазоне \(\bar{x} \pm 2s\)
– Каля 99,7% дадзеных знаходзяцца ў дыяпазоне \(\bar{x} \pm 3s\)
Гэтае правіла карысна для ацэнкі таго, колькі дадзеных з'яўляецца «нармальнымі» вакол сярэдняга значэння, і спрашчае выяўленне экстрэмальных значэнняў. Аднак важна памятаць, што гэтае правіла дакладнае толькі ў тым выпадку, калі дадзеныя сапраўды блізкія да нормы.
7. Стандартнае адхіленне ў параўнанні з іншымі паказчыкамі распаўсюджвання
Нягледзячы на тое, што стандартнае адхіленне вельмі папулярнае, існуюць і іншыя важныя меры дысперсіі:
– Дыяпазон: розніца паміж максімальным і мінімальным значэннямі. Просты, але вельмі адчувальны да выкідаў.
– IQR (міжквартыльны дыяпазон): дыяпазон паміж квартылем 1 і квартылем 3. Больш устойлівы да выкідаў, чым стандартнае адхіленне.
– MAD (медыяна абсалютнага адхілення): надзейная мера, заснаваная на медыяне, падыходзіць для дадзеных з вялікай колькасцю выкідаў.
Стандартнае адхіленне лепшае, калі дадзеныя адносна "чыстыя", а размеркаванне не мае занадта моцных хвастоў. Калі дадзеныя ўтрымліваюць шмат выкідаў, стандартнае адхіленне можа стаць большым і менш прадстаўнічым для большасці дадзеных.
8. Перавагі і абмежаванні стандартнага адхілення
Лішак
– Выкарыстоўвае ўсе дадзеныя (не толькі экстрэмальныя значэнні).
– Мае моцную тэарэтычную базу і часта выкарыстоўваецца ў многіх перадавых статыстычных метадах.
– Лёгка інтэрпрэтаваць, бо адзінкі вымярэння тыя ж, што і ў зыходных дадзеных.
Абмежаванні
– Вельмі адчувальны да выкідаў, бо ўключае квадрат рознасці.
– Інтэрпрэтацыя «вялікі» ці «малы» залежыць ад маштабу і кантэксту.
– У размеркаваннях з высокай адрознасцю ад нармальнага стандартнае адхіленне можа быць менш прадстаўнічым.
9. Заключэнне
Аналіз дысперсіі дадзеных — найважнейшы крок у разуменні характарыстык набору дадзеных. Стандартнае адхіленне дае выразную меру таго, наколькі дадзеныя адрозніваюцца ад сярэдняга значэння, дапамагаючы нам ацаніць паслядоўнасць, рызыку і якасць працэсу або з'явы. Разумеючы, як яго разлічваць і інтэрпрэтаваць, мы можам прымаць больш абгрунтаваныя рашэнні, няхай гэта будзе ў акадэмічных даследаваннях, ацэнцы прадукцыйнасці, кантролі якасці або бізнес-аналізе.
У рэшце рэшт, стандартнае адхіленне — гэта не проста лік, а важны агляд нявызначанасці і варыяцый, уласцівых дадзеным. Для больш надзейнага аналізу стандартнае адхіленне варта выкарыстоўваць разам з іншымі паказчыкамі, такімі як медыяна, міжквартальны разрыў або візуалізацыя дадзеных, каб атрымаць больш поўную і дакладную карціну размеркавання.
