Тэарэма Тарычэлі — задачы і рашэнні

Тэарэма Тарычэлі — задачы і рашэнні

1. Трубка вышынёй 100 см запоўнена вадой. Адтуліна Q размешчана на вышыні 10 см над зямлёй. Якая гарызантальная адлегласць (x)?

Вядома:

Адлегласць паміж адтулінай і паверхняй вады (h) = 100 см – 10 см = 90 см = 0.9 м

Паскарэнне з-за сілы цяжару (g) = 10 м/с²

Хацелася: Адлегласць ад x

Рашэнне:

Хуткасць патоку вады ў адтуліне

v= хуткасць, г = паскарэнне з-за сілы цяжару, h = адлегласць паміж адтулінай і паверхняй вады

Хуткасць патоку вады ў адтуліне:

Час у паветры

Рух вады з адтуліны да зямлі — гэта рух снарадаРух снарада можна зразумець, прааналізаваўшы асобна гарызантальную і вертыкальную складнікі руху. Рух па восі x адбываецца з пастаяннай хуткасцю, а рух па восі y — з пастаянным паскарэннем сілы цяжару.

У гэтай праблеме, вертыкальны рух аналізуецца як рух у свабодным падзенні.

Разлічыце час знаходжання ў паветры, выкарыстоўваючы ўраўненне рух у свабодным падзенні.

Вядома:

Вышыня адтуліны (y) = 10 см = 0.1 м

Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 м/с²

Шукаецца: Інтэрвал часу (t)

Рашэнне:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) т²

0.1 = 5 т²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 секунды

Гарызантальная адлегласць (x):

Вядома:

Пачатковая хуткасць (v_o = v_ox) = 3√2 м/с

Час у паветры (t) = √0.02 секунды

Шукаецца: Гарызантальная адлегласць (x)

Рашэнне:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 метра

2. Рэзервуар з вадой вышынёй 1 метр. У пункце P ёсць адтуліна. Якая хуткасць патоку вады ў адтуліне? Паскарэнне сілы цяжару роўна 10 м/с?².

Вядома:

Адлегласць паміж адтулінай і паверхняй вады (h) = 100 см – 80 см = 20 см = 0.2 м

Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 м/с²

Хацелася: Хуткасць патоку вады ў адтуліне (v)

Рашэнне:

Хуткасць патоку вады ў адтуліне:

3. Вялікіэлектронная ванна змяшчае ваду і ёсць кран, як паказана на малюнку ніжэй. Калі g = 10 мс^-2, тады хуткасць вады з крана будзе…

Вядома:

Вышыня (в) = 85 см – 40 см = 45 см = 0.45 метра

Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 м/с²

Хацелася: Хуткасць вады (v)

Рашэнне:

TТэарэма Арычэлі сцвярджае, што хуткасць вады праз адтуліну, адлеглую на адлегласць h ад паверхні вады, роўная хуткасць вольнае падзеннеING вады з вышыні h.

Хуткасць вады разлічваецца па формуле руху ў свабодным падзенніa v_t² = 2 гх

v_t² = 2 г/г = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 м/с

4. A ванна запоўнены вадой, а на сцяне ёсць адтуліна (гл. малюнак ніжэй). Хуткасць вады, якая выцякае з адтуліны, складае… (g = 10 мс^-2)

Вядома:

Вышыня (h) = 1.5 м – 0.25 м = 1.25 метра

Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 м/с²

Шукаецца: Sхуткасць вады (V)

Рашэнне:

v_t² = 2 г/г = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 м/с

5. Рэзервуар, які змяшчае ваду вышынёй да 1 метра (g = 10 мс^-2) і на сцяне ёсць адтуліна для працёкаў (гл. малюнак ніжэй). Хуткасць вады, якая выцякае з адтуліны, складае...

Вядома:

Вышыня (h) = 1 м – 0.20 м = 0.8 метра

Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 м/с²

Шукаецца: Sхуткасць вады (V)

Рашэнне:

v_t² = 2 г/г = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 м/с

1. Што апісвае тэарэма Тарычэлі?
   • адказ: Тэарэма Тарычэлі звязвае хуткасць вадкасці, якая выцякае з адтуліны, з вышынёй слупа вадкасці над адтулінай, мяркуючы, што паток стацыянарны, нявязкі (без глейкасці) і несціскальны.
2. Як матэматычна выражаецца тэарэма Тарычэлі?
   • адказ: Тэарэма выражаецца наступным чынам v=√2gh​, Дзе $v$ гэта хуткасць адтоку, $g$ — гэта паскарэнне сілы цяжару, і $h$ — вышыня слупа вадкасці над адтулінай.
3. Пры якіх дапушчэннях была выведзена тэарэма Тарычэлі?
   • адказ: Тэарэма мяркуе, што вадкасць несціскальная і неглейкая, паток стацыянарны, і да вадкасці не дадаецца і не адбіраецца дадатковая энергія.
4. Калі ў кантэйнеры ёсць дзве адтуліны на рознай глыбіні, як будуць параўноўвацца хуткасці вадкасцей, якія выходзяць з адтулін?
   • адказ: Вадкасць, якая выходзіць з адтуліны бліжэй да дна, будзе мець большую хуткасць, чым вадкасць з вышэйшай адтуліны. Гэта адбываецца таму, што ціск (і, такім чынам, патэнцыяльная энергія) большы на большай глыбіні.
5. Чаму хуткасць выцякання не залежыць ад формы або плошчы папярочнага сячэння кантэйнера?
   • адказ: Тэарэма Тарычэлі ўлічвае толькі патэнцыяльную энергію, абумоўленую вышынёй слупа вадкасці над адтулінай. Форма кантэйнера не змяняе гэтую вышыню, таму хуткасць выцякання застаецца ранейшай.
6. Чым адрозніваецца рэальная хуткасць вадкасці, якая цячэ з адтуліны, ад прадказання, зробленага тэарэмай Тарычэлі ў рэальных сітуацыях?
   • адказ: У рэальных сітуацыях такія фактары, як глейкасць вадкасці, турбулентнасць і форма адтуліны, могуць уплываць на рэальную хуткасць, часта робячы яе меншай за прадказаную тэарэмай Тарычэлі.
7. Якая сувязь паміж тэарэмай Тарычэлі і законам захавання энергіі?
   • адказ: Тэарэма Тарычэлі вынікае з закону захавання механічнай энергіі. Яна прыраўноўвае патэнцыяльную энергію на паверхні вадкасці да кінетычнай энергіі ля адтуліны.
8. Калі адтуліна знаходзіцца ў самым версе ёмістасці, запоўненай вадкасцю, як тэарэма Тарычэлі апісвае хуткасць выцякання?
   • адказ: Вышыня $h$ вышэй за адтуліну будзе роўнай нулю, таму, згодна з тэарэмай Тарычэлі, хуткасць выцякання будзе роўнай нулю.
9. Як наяўнасць атмасфернага ціску ўплывае на прадказанні тэарэмы Тарычэлі?
   • адказ: Тэарэма Тарычэлі мяркуе, што кантэйнер адкрыты для атмасферы, і, такім чынам, атмасферны ціск дзейнічае аднолькава па ўсёй паверхні вадкасці. Гэты ціск кампенсуецца пры ўліку рознасці ціскаў па вышыні вадкасці, таму тэарэма застаецца ў сіле.
10. Што адбываецца з хуткасцю выцякання, калі вадкасць у ёмістасці памяншаецца?

• адказ: Па меры зніжэння ўзроўню вадкасці вышыня $h$ вышэй за адтуліну памяншаецца. Згодна з тэарэмай Тарычэлі, хуткасць выцякання будзе памяншацца, як v=√2gh​.

Гэтыя пытанні і адказы даследуюць асновы, наступствы і прымяненне тэарэмы Тарычэлі ў дынаміцы вадкасцей.