Круцільны рух – праблемы і рашэнні

Круцільны рух — праблемы і рашэнні

Крутоўны момант

1. Бэлька даўжынёй 140 см. На бэльку дзейнічаюць тры сілы: F1 ₌ 20 Н, F2 ₌ 10 Н і F3 = 40 Н, _{кірунак} і становішча якіх паказаны на малюнку ніжэй. Які крутоўны момант прымушае бэльку круціцца вакол цэнтра мас бэлькі?

Вядома: Круцільны рух – праблемы і рашэнні 1

Цэнтр мас знаходзіцца ў цэнтры бэлькі.

Даўжыня бэлькі (l) = 140 см = 1.4 метра

Сіла 1 (F1 ₎ = 20 Н, плячо рычага 1 (l1 ₎ = 70 см = 0.7 метра

Сіла 2 (F2 ₎ = 10 Н, плячо рычага 2 (l2 ₎ = 100 см – 70 см = 30 см = 0.3 метра

Сіла 3 (F3 ₎ = 40 Н, плячо рычага 3 (l3 ₎ = 70 см = 0.7 метра

Шукаецца: велічыня крутоўнага моманту

Рашэнне:

Крутоўны момант 1 круціць бэльку па гадзіннікавай стрэлцы, таму крутоўнаму моманту 1 прысвоены адмоўны знак.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ Н)(0.7 м) = -14 Н · _м

Крутоўны момант 2 круціць бэльку супраць гадзіннікавай стрэлкі, таму крутоўны момант 2 мае станоўчы знак.

τ² ₌ F²l² = ( _{10 Н}₎ (0.3 м) = 3 Н· м

Крутоўны момант 3 круціць бэльку па гадзіннікавай стрэлцы, таму крутоўнаму моманту 3 прысвоены станоўчы знак.

τ³ ₌ F³ _l³ = (40 Н)(0.7 м) = -28 Н·м

Чысты крутоўны момант:

Στ = -14 Нм + 3 Нм – 28 Нм = – 42 Нм + 3 Нм = -39 Нм

Велічыня крутоўнага моманту складае 39 Н·м. Кірунак кручэння бэлькі па гадзіннікавай стрэлцы, таму ёй прысвоены знак адмоўны.

2. Які чысты крутоўны момант дзейнічае на бэльку. Вось кручэння ў пункце D? (sin 53 ^o = 0.8)

Вядома:

Вось кручэння ў пункце D Круцільны рух – праблемы і рашэнні 2

F ₁ = 10 Н і l ₁ = r ₁ sin θ = (40 см)(sin 53 ^o ) = (0.4 м)(0.8) = 0.32 метра

F ₂ = 10√2 N і l ₂ = r ₂ sin θ = (20 см)(sin 45 ^o ) = (0.2 м)(0.5√2) = 0.1√2 метра

F ₃ = 20 Н і l ₃ = r ₁ sin θ = (10 см)(sin 90 ^o ) = (0.1 м)(1) = 0.1 метра

Патрэбны: чысты крутоўны момант

Рашэнне:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 Н)(0.32 м) = 3.2 Нм

(Крутоўны момант 1 круціць бэльку супраць гадзіннікавай стрэлкі, таму мы прысвойваем крутоўнаму моманту 1 дадатны знак)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 Н)( 0.1√2 м) = -2 Нм

(Крутоўны момант 2 круціць бэльку па гадзіннікавай стрэлцы, таму мы прысвойваем крутоўнаму моманту 2 адмоўны знак)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 Н)(0.1 м) = 2 Нм

(Крутоўны момант 3 круціць бэльку супраць гадзіннікавай стрэлкі, таму мы прысвойваем крутоўнаму моманту 3 дадатны знак)

Чысты крутоўны момант:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Нм – 2 Нм + 2 Нм

Στ = 3.2 Нм

3. Які чысты крутоўны момант, калі вось кручэння ў пункце D знаходзіцца (sin 53 ^o = 0.8)?

Вядома:

Вось кручэння ў пункце D. Круцільны рух – праблемы і рашэнні 3

Адлегласць паміж F1 _і воссю кручэння (rAD ₎ = 40 см = 0.4 м

Адлегласць паміж F² _і воссю кручэння (rBD ₎ = 20 см = 0.2 м

Адлегласць паміж F3 _і воссю кручэння (rCD ₎ = 10 см = 0.1 м

F1 = 10 _{Ньютана}

F² = 10√² _{Ньютана}

F³ = 20 _{Ньютана}

Sin 53 ^o = 0.8

Патрэбны: чысты крутоўны момант

Рашэнне:

Момант сілы 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 Н)(0.4 м)(0.8) = 3.2 Нм

Момант сілы 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 Н)(0.2 м)(0.5√2) = -2 Нм

Момант сілы 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 Н)(0.1 м)(1) = 2 Нм

(Крутоўны момант 2 круціць бэльку супраць гадзіннікавай стрэлкі, таму мы прысвойваем крутоўнаму моманту 3 дадатны знак)

Чысты крутоўны момант:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 ньютан-метра

Момант інэрцыі

4. Даўжыня дроту = 12 м, l ₁ = 4 м. Масай дроту можна занядбаць. Чаму роўны момант інэрцыі сістэмы?

Вядома: Круцільны рух – праблемы і рашэнні 4

Маса А (м _А ) = 0.2 кг

Маса B (м _B ) = 0.6 кг

Адлегласць паміж А і воссю кручэння (r _A ) = 4 метры

Адлегласць паміж B і воссю кручэння (r _B ) = 12 – 4 = 8 метраў

Шукаецца: момант інэрцыі сістэмы

Рашэнне:

Момант інэрцыі А

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 кг м ²

Момант інэрцыі B

I _B = (м _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 кг м ²

Момант інэрцыі сістэмы:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 кг м ²

Крутальная дынаміка

5. Да шнура, абматанага вакол шківа масай M = 5 кг і радыусам R = 20 см, прыкладзена сіла 6 Н. Якое вуглавое паскарэнне шківа? Шків — гэта аднастайны цвёрды цыліндр.

Вядома:

Сіла (Ф) = 6 Ньютанаў

Маса (M) = 5 кг

Радыус (R) = 20 см = 20/100 м = 0.2 м

Шукаецца: вуглавое паскарэнне (α)

Рашэнне:

Момант сілы:

τ = FR = (6 Ньютан) (0.2 метра) = 1.2 Н м

Момент інэрцыі для цвёрдага цыліндра:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 кг)(0.2 м) ^²

I = 1/2 (5 кг)(0.04 ^м² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 кг ^м².

Вуглавое паскарэнне:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 рад с ^-2

6. Блок масай = 4 кг вісіць на шнуры, абматаным вакол шківа масай = 8 кг і радыусам R = 10 см. Паскарэнне сілы цяжару роўна 10 мс ^-2 . Якое лінейнае паскарэнне блока? Шків — гэта аднастайны цвёрды цыліндр.

Вядома:

Маса шківа (м) = 8 кг

Радыус шківа (r) = 10 см = 0.1 м

Маса блока (м) = 4 кг

Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 м/ ^с²

Вага (w) = mg = (4 кг)(10 м/с² ⁾ = 40 кг м/с² ⁼ 40 ньютана

Шукаецца: паскарэнне свабоднага падзення блока

Рашэнне:

Момент інэрцыі цвёрдага цыліндра:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 кг)(0.1 м) ² = (4 кг)(0.01 м ² ) = 0.04 кг м ²

Момант сілы:

τ = F r = (40 Н)(0.1 м) = 4 Нм

Вуглавое паскарэнне:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Лінейнае паскарэнне:

a = r α = (0.1)(100) = 10 м/с ²

7. Брусок масай m вісіць на шнуры, абматаным вакол шківа. Калі паскарэнне свабоднага падзення бруска роўна ам/с² ^, то які момант інэрцыі шківа?

Вядома:

вага = w = мг Круцільны рух – праблемы і рашэнні 6

Рычаг = R

Вуглавое паскарэнне = α

Паскарэнне свабоднага падзення блока = a мс ^-2

Шукаецца: Момант інэрцыі шківа (I)

Рашэнне:

Сувязь паміж лінейным паскарэннем і вуглавым паскарэннем:

a = Rα

α = a / R

Момант інэрцыі:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Вуглавы момант

8. Часціца масай 0.2 грама рухаецца па акружнасці з пастаяннай хуткасцю 10 м/с. Радыус акружнасці роўны 3 см. Які вуглавы момант часціцы?

Вядома:

Маса часціцы (м) = 0.2 грама = 2 х ^10⁻⁴ кг

Вуглавая хуткасць (ω) = 10 рады/ ^с

Радыус (r) = 3 см = 3 x ^10⁻² метраў

Шукаецца: вуглавы момант часціцы

Рашэнне:

Ураўненне вуглавога моманту:

L = Iω

I = вуглавы момант, I = момант інэрцыі, ω = вуглавая хуткасць

Момант інэрцыі (для часціц):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Вуглавы момант:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁴⁾ (10 рады с⁻¹ ⁾ = 18 x ^10⁻⁷ кг ^м² с⁻¹

Што такое вярчальны рух?
- АдказВярчальны рух — гэта рух аб'екта вакол фіксаванай восі. Гэта від руху, пры якім кожная кропка аб'екта рухаецца па акружнасці вакол восі.
Як лінейная хуткасць звязана з вуглавой хуткасцю пры вярчальным руху?
- АдказЛінейная хуткасць ( $v$ ) кропкі ў аб'екце, які круціцца, прама прапарцыйная яе адлегласці ( $r$ ) ад восі кручэння і вуглавой хуткасці ( $ω$ ) аб'екта. Суадносіны задаюцца наступным чынам $v = r \cdot ω$ .
Што такое момант інэрцыі і як ён звязаны з вярчальным рухам?
- АдказМомант інэрцыі — гэта вярчальны аналаг масы пры лінейным руху. Ён вымярае супраціўленне аб'екта зменам яго вярчальнага стану. Момант інэрцыі залежыць як ад масы аб'екта, так і ад яе размеркавання адносна восі кручэння.
Як першы закон руху Ньютана прымяняецца да вярчальнага руху?
- АдказГэтак жа, як аб'ект, які знаходзіцца ў лінейным руху, застаецца ў руху, калі на яго не дзейнічае знешняя сіла, аб'ект, які знаходзіцца ў вярчальным руху, будзе заставацца ў гэтым стане, калі на яго не дзейнічае знешні крутоўны момант.
Якое значэнне мае радыус гірацыі?
- АдказРадыус гірацыі вызначае размеркаванне масы аб'екта адносна восі кручэння. Па сутнасці, ён апісвае, наколькі далёка ад восі павінна быць сканцэнтравана ўся маса аб'екта, каб атрымаць той жа момант інэрцыі, што і пры першапачатковым размеркаванні.
Што такое вуглавы момант і як ён захоўваецца?
- АдказІмпульс імпульсу — гэта вярчальны эквівалент лінейнага імпульсу. Гэта здабытак моманту інэрцыі аб'екта і яго вуглавой хуткасці. У замкнёнай сістэме поўны імпульс імпульсу застаецца пастаянным, калі на яго не дзейнічае знешні крутоўны момант, што сведчыць пра захаванне імпульсу імпульсу.
Як крутоўны момант уплывае на вярчальны рух?
- АдказКрутоўны момант — гэта вярчальны эквівалент сілы. Ён выклікае змены ў вярчальным руху аб'екта. Суадносіны вызначаюцца другім законам Ньютана для кручэння: $τ = I \cdot α$ , Дзе $τ$ гэта крутоўны момант, $I$ — гэта момант інэрцыі, а $α$ — гэта вуглавое паскарэнне.
Чым адрозніваецца цэнтр мас ад цэнтра кручэння?
- АдказХоць яны могуць супадаць, цэнтр мас — гэта кропка, дзе можна лічыць сканцэнтраванай уся маса аб'екта для мэтаў разлікаў у лінейным руху, тады як цэнтр кручэння — гэта кропка (або вось), вакол якой круціцца аб'ект.
Якая роля цэнтраімклівай сілы ў вярчальным руху?
- АдказЦэнтрацэнтрычная сіла — гэта сума сіл, якая дзейнічае на аб'ект, які рухаецца па кругавой траекторыі і накіравана да цэнтра кручэння. Яна адказвае за ўтрыманне аб'екта на крывалінейнай траекторыі і не дазваляе яму рухацца па прамой лініі з-за інэрцыі.
Як звязана кінетычная энергія кручэння з момантам інерцыі і вуглавой хуткасцю?
- АдказКінетычная энергія кручэння — гэта энергія, выкліканая кручэннем аб'екта вакол восі. Яна задаецца формулай: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , Дзе $I$ момант інэрцыі і $ω$ — вуглавая хуткасць.