Круцільны рух – праблемы і рашэнні

Круцільны рух — праблемы і рашэнні

Крутоўны момант

1. Бэлька даўжынёй 140 см. На бэльку дзейнічаюць тры сілы, F₁ = 20 N, F₂= 10 Н і F₃ = 40 Н з кірункам і становішчам, як паказана на малюнку ніжэй. Што такое крутоўны момант што прыводзіць да кручэння бэлькі вакол цэнтра мас бэлькі?

Вядома: Круцільны рух – праблемы і рашэнні 1

Цэнтр мас знаходзіцца ў цэнтры бэлькі.

Даўжыня бэлькі (l) = 140 см = 1.4 метра

Сіла 1 (F₁) = 20 Н, плячо рычага 1 (l₁) = 70 см = 0.7 метра

Сіла 2 (F₂) = 10 Н, плячо рычага 2 (l₂) = 100 см – 70 см = 30 см = 0.3 метра

Сіла 3 (F₃) = 40 Н, плячо рычага 3 (l₃) = 70 см = 0.7 метра

Шукаецца: Велічыня крутоўнага моманту

Рашэнне:

Крутоўны момант 1 круціць бэльку па гадзіннікавай стрэлцы, таму крутоўнаму моманту 1 прысвоены адмоўны знак.

τ₁ = Ф₁ l₁ = (20 Н)(0.7 м) = -14 Н·м

Крутоўны момант 2 круціць бэльку супраць гадзіннікавай стрэлкі, таму крутоўны момант 2 мае станоўчы знак.

τ₂ = Ф₂ l₂ = (10 Н)(0.3 м) = 3 Н·м

Крутоўны момант 3 круціць бэльку па гадзіннікавай стрэлцы, таму крутоўнаму моманту 3 прысвоены станоўчы знак.

τ₃ = Ф₃ l3 = (40 Н)(0.7 м) = -28 Н·м

Чысты крутоўны момант:

Στ = -14 Нм + 3 Нм – 28 Нм = – 42 Нм + 3 Нм = -39 Нм

Велічыня крутоўнага моманту складае 39 Н·м. Кірунак кручэння бэлькі па гадзіннікавай стрэлцы, таму ёй прысвоены знак адмоўны.

2. Які чысты крутоўны момант дзейнічае на бэльку? Вось кручэння ў пункце D. (sin 53^o = 0.8)

Вядома:

Вось кручэння ў пункце D Круцільны рух – праблемы і рашэнні 2

F₁ = 10 Н і l₁= г₁ sin θ = (40 см)(sin 53^o) = (0.4 м)(0.8) = 0.32 метра

F₂ = 10√2 Н і l₂= г₂ sin θ = (20 см)(sin 45^o) = (0.2 м)(0.5√2) = 0.1√2 метра

F₃ = 20 Н і l₃ = г₁ sin θ = (10 см)(sin 90^o) = (0.1 м)(1) = 0.1 метра

Шукаецца: Чысты крутоўны момант

Рашэнне:

τ₁ = Ф₁ l₁ = (10 Н)(0.32 м) = 3.2 Нм

(Крутоўны момант 1 круціць бэльку супраць гадзіннікавай стрэлкі, таму мы прысвойваем крутоўнаму моманту 1 дадатны знак)

τ₂ = Ф₂ l₂ = (10√2 Н)(0.1√2 м) = -2 Нм

(Крутоўны момант 2 круціць бэльку па гадзіннікавай стрэлцы, таму мы прысвойваем крутоўнаму моманту 2 адмоўны знак)

τ₃ = Ф₂ l₂ = (20 Н)(0.1 м) = 2 Нм

(Крутоўны момант 3 круціць бэльку супраць гадзіннікавай стрэлкі, таму мы прысвойваем крутоўнаму моманту 3 дадатны знак)

Чысты крутоўны момант:

Στ = τ₁ – τ₁ + τ₃

Στ = 3.2 Нм – 2 Нм + 2 Нм

Στ = 3.2 Нм

3. Які чысты крутоўны момант, калі вось кручэння ў пункце D (sin 53^o= 0.8)

Вядома:

Вось кручэння ў пункце D. Круцільны рух – праблемы і рашэнні 3

Адлегласць паміж F₁ і вось кручэння (r_AD) = 40 см = 0.4 м

Адлегласць паміж F₂ і вось кручэння (r_BD) = 20 см = 0.2 м

Глядзіце таксама Дынаміка вярчальных рухаў – праблемы і рашэнні

Адлегласць паміж F₃ і вось кручэння (r_CD) = 10 см = 0.1 м

F₁= 10 Ньютана

F₂ = 10√2 Ньютана

F₃ = 20 Ньютана

Грэх 53^o= 0.8

Шукаецца: Чысты крутоўны момант

Рашэнне:

Момант сілы 1

Στ₁ = (F₁)(r_AD грэх 53^o) = (10 Н)(0.4 м)(0.8) = 3.2 Нм

Момант сілы 2

Στ₂= (F₂)(r_BD грэх 45^o) = (10√2 Н)(0.2 м)(0.5√2) = -2 Нм

Момант сілы 3

Στ₃ = (F₃)(r_CD грэх 90^o) = (20 Н)(0.1 м)(1) = 2 Нм

(Крутоўны момант 2 круціць бэльку супраць гадзіннікавай стрэлкі, таму мы прысвойваем крутоўнаму моманту 3 дадатны знак)

Чысты крутоўны момант:

Στ = Στ₁ + Στ₂+ Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 ньютан-метра

Момант інэрцыі

4. Даўжыня дроту = 12 м, л₁ = 4 м. Масай дроту можна занядбаць. Чаму роўна момант інэрцыі сістэмы.

Вядома: Круцільны рух – праблемы і рашэнні 4

Маса ад A (м_A) = 0.2 кг

Маса B (м_B) = 0.6 кг

Адлегласць паміж А і воссю кручэння (r_A) = 4 метры

Адлегласць паміж B і воссю кручэння (r_B) = 12 – 4 = 8 метраў

Шукаецца: Момант інэрцыі сістэмы

Рашэнне:

Момант інэрцыі А

I_A = (м_A)(r_A²) = (0.2)(4)² = (0.2)(16) = 3.2 кг/м²

Момант інэрцыі B

I_B= (м_B)(r_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 кг/м²

Момант інэрцыі сістэмы:

Я = я_A + I_B = 3.2 + 38.4 = 41.6 кг/м²

Крутальная дынаміка

5. Да шнура, абматанага вакол шківа масай M = 5 кг і радыусам R = 20 см, прыкладзена сіла 6 Н. Якое вуглавое паскарэнне шківа? Шків — гэта аднастайны цвёрды цыліндр.

Вядома:

Сіла (Ф) = 6 Ньютанаў

Маса (M) = 5 кг

Радыус (R) = 20 см = 20/100 м = 0.2 м

Шукаецца: Вуглавое паскарэнне (α)

Рашэнне:

Момант сілы:

τ = FR = (6 Ньютан) (0.2 метра) = 1.2 Н м

Момент інэрцыі для цвёрдага цыліндра:

I = 1/2 МР²

I = 1/2 (5 кг)(0.2 м)²

I = 1/2 (5 кг)(0.04 м²)

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 кг/м².

Вуглавое паскарэнне:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 рад с^-2

6. Блок масай 4 кг вісіць на вяроўцы, абматанай вакол шківа масай 8 кг і радыусам R = 10 см. Паскарэнне сілы цяжару складае 10 мс.^-2Якое лінейнае паскарэнне блока? Шків — гэта аднастайны цвёрды цыліндр.

Вядома:

Маса шківа (м) = 8 кг

Радыус шківа (r) = 10 см = 0.1 м

Маса блока (м) = 4 кг

Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 м/с²

Глядзіце таксама Рух па нахіленай плоскасці без сілы трэння - прымяненне закона руху Ньютана, задачы і рашэнні

Вага (w) = мг = (4 кг)(10 м/с²) = 40 кг м/с² = 40 Ньютана

Шукаецца: Паскарэнне свабоднага падзення блока

Рашэнне:

Момент інэрцыі цвёрдага цыліндра:

I = 1/2 МР²= 1/2 (8 кг)(0.1 м)² = (4 кг)(0.01 м²) = 0.04 кг/м²

Момант сілы:

τ = F r = (40 Н)(0.1 м) = 4 Нм

Вуглавое паскарэнне:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Лінейнае паскарэнне:

a = r α = (0.1)(100) = 10 м/с²

7. Блок масай m вісіць на шнуры, наматаным на шкіў. Калі вольнае падзенне паскарэнне блока складае ам/с², які момант інэрцыі шківа..

Вядома:

вага = w = мг Круцільны рух – праблемы і рашэнні 6

Рычаг = R

Вуглавое паскарэнне = α

Паскарэнне свабоднага падзення блока = a мс^-2

Хацелася: Момант інэрцыі шківа (I)

Рашэнне:

Сувязь паміж лінейным паскарэннем і вуглавым паскарэннем:

a = Rα

α = a / R

Момант інэрцыі:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a^-1

Вуглавы момант

8. Часціца масай 0.2 грама рухаецца па акружнасці з пастаяннай хуткасцю 10 м/с. Радыус акружнасці роўны 3 см. Які вуглавы момант часціцы?

Вядома:

Маса часціц (m) = 0.2 грама = 2 x 10^-4kg

Вуглавая хуткасць (ω) = 10 радыян/с^-1

Радыус (r) = 3 см = 3 x 10^-2метраў

Шукаецца: Вуглавы момант часціцы

Рашэнне:

Ураўненне вуглавога моманту:

L = Iω

I = вуглавы момант, I = момант інэрцыі, ω = вуглавая хуткасць

Момант інэрцыі (для часціц):

Я = спадар.²= (2 х 10^-4)(3 х 10^-2)²= (2 х 10^-4)(9 х 10^-4) = 18 х 10^-8

Вуглавы момант:

L = I ω = (18 x 10^-8)(10 рады с^-1) = 18 х 10^-7 кг/м² s^-1

Што такое вярчальны рух?
- АдказВярчальны рух — гэта рух аб'екта вакол фіксаванай восі. Гэта від руху, пры якім кожная кропка аб'екта рухаецца па акружнасці вакол восі.

Як лінейная хуткасць звязана з вуглавой хуткасцю пры вярчальным руху?
- АдказЛінейная хуткасць ( $v$ ) кропкі ў аб'екце, які круціцца, прама прапарцыйная яе адлегласці ( $r$ ) ад восі кручэння і вуглавой хуткасці ( $ω$ ) аб'екта. Суадносіны задаюцца наступным чынам $v = r \cdot ω$ .
Што такое момант інэрцыі і як ён звязаны з вярчальным рухам?
- АдказМомант інэрцыі — гэта вярчальны аналаг масы пры лінейным руху. Ён вымярае супраціўленне аб'екта зменам яго вярчальнага стану. Момант інэрцыі залежыць як ад масы аб'екта, так і ад яе размеркавання адносна восі кручэння.

Як першы закон руху Ньютана прымяняецца да вярчальнага руху?
- АдказГэтак жа, як аб'ект, які знаходзіцца ў лінейным руху, застаецца ў руху, калі на яго не дзейнічае знешняя сіла, аб'ект, які знаходзіцца ў вярчальным руху, будзе заставацца ў гэтым стане, калі на яго не дзейнічае знешні крутоўны момант.
Якое значэнне мае радыус гірацыі?
- АдказРадыус гірацыі вызначае размеркаванне масы аб'екта адносна восі кручэння. Па сутнасці, ён апісвае, наколькі далёка ад восі павінна быць сканцэнтравана ўся маса аб'екта, каб атрымаць той жа момант інэрцыі, што і пры першапачатковым размеркаванні.

Што такое вуглавы момант і як ён захоўваецца?
- АдказІмпульс імпульсу — гэта вярчальны эквівалент лінейнага імпульсу. Гэта здабытак моманту інэрцыі аб'екта і яго вуглавой хуткасці. У замкнёнай сістэме поўны імпульс імпульсу застаецца пастаянным, калі на яго не дзейнічае знешні крутоўны момант, што сведчыць пра захаванне імпульсу імпульсу.
Як крутоўны момант уплывае на вярчальны рух?
- АдказКрутоўны момант — гэта вярчальны эквівалент сілы. Ён выклікае змены ў вярчальным руху аб'екта. Суадносіны вызначаюцца другім законам Ньютана для кручэння: $τ = I \cdot α$ , Дзе $τ$ гэта крутоўны момант, $I$ — гэта момант інэрцыі, а $α$ — гэта вуглавое паскарэнне.

Чым адрозніваецца цэнтр мас ад цэнтра кручэння?
- АдказХоць яны могуць супадаць, цэнтр мас — гэта кропка, дзе можна лічыць сканцэнтраванай уся маса аб'екта для мэтаў разлікаў у лінейным руху, тады як цэнтр кручэння — гэта кропка (або вось), вакол якой круціцца аб'ект.
Якая роля цэнтраімклівай сілы ў вярчальным руху?
- АдказЦэнтрацэнтрычная сіла — гэта сума сіл, якая дзейнічае на аб'ект, які рухаецца па кругавой траекторыі і накіравана да цэнтра кручэння. Яна адказвае за ўтрыманне аб'екта на крывалінейнай траекторыі і не дазваляе яму рухацца па прамой лініі з-за інэрцыі.

Як звязана кінетычная энергія кручэння з момантам інерцыі і вуглавой хуткасцю?
- АдказКінетычная энергія кручэння — гэта энергія, выкліканая кручэннем аб'екта вакол восі. Яна задаецца формулай: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , Дзе $I$ момант інэрцыі і $ω$ — вуглавая хуткасць.