Ураўненне Пуазейля

Яго называюць ураўненнем Пуазейля, таму што яго адкрыў нябожчык Жан Луі Мары Пуазей (1799-1869). Як тлумачылася, кожную вадкасць можна лічыць ідэальнай вадкасцю. Ідэальныя вадкасці не маюць глейкасці. Калі ўявіць ідэальную вадкасць, якая цячэ ў трубе, кожная частка вадкасці рухаецца з аднолькавай хуткасцю (v). У адрозненне ад ідэальных вадкасцей, рэальныя вадкасці, або вадкасці, з якімі мы сутыкаемся ў паўсядзённым жыцці, маюць глейкасць. Паколькі яны маюць глейкасць, пры цячэнні ў трубе, напрыклад, хуткасць кожнай часткі вадкасці змяняецца. Пласт вадкасці ў сярэдзіне рухаецца хутчэй (v вялікае), у той час як пласт вадкасці, прымацаваны да трубы, не рухаецца, гэта значыць нерухомы (v = 0). Такім чынам, ад цэнтра да краю трубы кожная частка вадкасці рухаецца з рознай хуткасцю. Каб вам было лягчэй зразумець, паглядзіце на малюнак ніжэй…

інфармацыя:

R = радыус трубы/трубы

v₁ = хуткасць патоку вадкасці ў цэнтры/восі трубкі

v₂ = хуткасць патоку вадкасці на адлегласці r₂ ад краю трубкі

v₃ = хуткасць патоку вадкасці на адлегласці r₃ ад краю трубкі

v₄ = хуткасць патоку вадкасці на адлегласці r₄ ад краю трубкі

r = адлегласць

Каб забяспечыць аднолькавую хуткасць патоку кожнай вадкасці, на абодвух канцах любой трубы або трубкі, па якой цячэ вадкасць, павінна быць розніца ціску. Пад вадкасцю тут мы маем на ўвазе рэальныя вадкасці, такія як вада або алей, якія цякуць па трубе, кроў, якая цячэ па крывяносных сасудах, і г.д. Акрамя таго, што розніца ціску дапамагае плаўна цячы рэальнай вадкасці, яна таксама дазваляе вадкасцям цячы ў трубах на рознай вышыні.

Жан Луі Мары Пуазей, былы французскі навуковец, які цікавіўся фізічнымі аспектамі кровазвароту чалавека, правёў даследаванне, каб высветліць, як такія фактары, як перапад ціску, плошча папярочнага сячэння трубкі і памер трубкі, уплываюць на хуткасць рэальнай вадкасці. Вынікі, атрыманыя Жанам Луі Мары Пуазейлем, вядомыя як ураўненне Пуазейля.

Ураўненне Пуазейля можна атрымаць з дапамогай раней атрыманага ўраўнення каэфіцыента глейкасці. Мы выкарыстоўваем ураўненне глейкасці, таму што выпадак падобны, хоць і не ідэнтычны. Пры атрыманні ўраўнення каэфіцыента глейкасці мы разглядаем паток рэальнага пласта вадкасці паміж дзвюма паралельнымі пласцінамі, і вадкасць можа рухацца дзякуючы сіле расцяжэння (F). Розніца заключаецца ў тым, што ўраўненне Пуазейля, якое мы будзем атрымліваць, насамрэч паказвае фактары, якія ўплываюць на паток рэальнай вадкасці ў трубе, а вадкасць цячэ з-за рознасці ціскаў. Такім чынам, ураўненне каэфіцыента глейкасці неабходна зноў скарэктаваць.

Вадкасці могуць цячы з-за розніцы ў ціску (вадкасці цякуць з месцаў з высокім ціскам у месцы з нізкім ціскам), таму мы замяняем F на p₁ – с₂ (p₁ > п₂).

Пры вывадзе ўраўнення для каэфіцыента глейкасці мы разглядаем паток рэальнага пласта вадкасці паміж дзвюма паралельнымі пласцінамі. Кожная частка вадкасці рэгулярна змяняе хуткасць на адлегласць l. У гэтым выпадку хуткасць патоку вадкасці рэгулярна змяняецца ад восі трубкі да краю трубкі. Вадкасць на восі трубкі цячэ з большай хуткасцю (v). Чым далей да краю, тым большая хуткасць вадкасці. Радыус трубкі = адлегласць паміж воссю трубкі і краем трубкі = R. Адлегласць паміж кожнай часткай вадкасці і краем трубкі = r. Паколькі колькасць кожнай часткі вадкасці вельмі вялікая, і іх адлегласць ад краю трубкі таксама змяняецца, мы проста запішам гэта так:

v₁ = хуткасць вадкасці на адлегласці r1 ад краю трубкі (r1 = R)

v₂ = хуткасць вадкасці на адлегласці r2 ад краю трубкі (r2 < r1)

v₃ = хуткасць вадкасці на адлегласці r3 ад краю трубкі (r3 < r2 < r1)

v₄ = хуткасць вадкасці на адлегласці r4 ад краю трубкі (r4 < r3 < r2 < r1)

……………………………………… ..

vn = хуткасць вадкасці на адлегласці rn ад краю трубкі (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)

Лік кожнай часткі вадкасці вельмі вялікі, і мы таксама не ведаем дакладна, колькі гэта насамрэч, таму дастаткова запісаць яго сімвалам n. Кожная частка вадкасці рэгулярна змяняе хуткасць (v) ад восі трубкі (r1 = R) да краю трубкі (rn). Ад восі трубкі (r1 = R) да краю трубкі (rn) хуткасць кожнай часткі вадкасці памяншаецца (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).

З прыведзенага вышэй тлумачэння можна зрабіць выснову, што ад R да rn хуткасць патоку вадкасці памяншаецца. Даўжыня трубы = L. Атрыманае ўраўненне мае выгляд:

Паколькі мы разглядаем хуткасць (v) патоку вадкасці, раўнанне 2 прымае наступны выгляд:

Гэта ўраўненне для хуткасці патоку вадкасці на адлегласці r ад трубы з радыусам R. Калі вы збянтэжыліся, гледзячы на ​​малюнак вышэй... Звярніце ўвагу, што вадкасць цячэ ў трубе або трубцы, таму нам трэба разгледзець аб'ёмную хуткасць патоку вадкасці.

Унутры трубкі знаходзіцца вадкасць. Напрыклад, мы дзелім вадкасць на вельмі маленькія кавалкі, дзе кожны кавалачак мае адзінку плошчы dA, знаходзіцца на адлегласці ад восі трубкі і мае хуткасць патоку v. Матэматычна гэта можна запісаць наступным чынам:

dA1 = плоскасць сячэння 1, якая знаходзіцца на адлегласці 1 ад восі трубкі

dA2 = плоскасць сячэння 2, якая знаходзіцца на адлегласці 2 ад восі трубкі

dA3 = плоскасць сячэння 3, якая знаходзіцца на адлегласці 3 ад восі трубкі

..................................

dA n = сячэнне вадкасці n, якое з'яўляецца адлегласцю dA n ад восі трубкі

Існуе так шмат вадкіх частак, што зручна проста запісваць іх сімвалам n. Аб'ёмны расход кожнай вадкай часткі можна запісаць матэматычна наступным чынам:

Кожны кавалак вадкасці знаходзіцца на адлегласці ад r = 0 да r = R (R = радыус трубкі). Іншымі словамі, адлегласць кожнага кавалка вадкасці змяняецца пры вымярэнні ад восі трубкі. Калі мы паэксперыментуем з вылічэннямі (інтэграваннем), мы атрымаем ураўненне для аб'ёмнага расходу вадкасці ў трубцы:

інфармацыя:

Q = Дэбет

R = Унутраны радыус трубы або трубкі

η = Каэфіцыент глейкасці

P₁ – с₂ = Розніца ціскаў паміж двума канцамі трубы

L = Даўжыня трубы

p₁-p₂/L = Градыент ціску (паток вадкасці заўсёды ідзе ў напрамку памяншэння ціску)

Зыходзячы з прыведзенага вышэй ураўнення Пуазейля, відаць, што аб'ёмны расход вадкасці, г.зн. расход (Q), прапарцыйны чацвёртай ступені радыуса трубкі (R).₄), градыент ціску (p₂ – с₁ /л) і адваротна прапарцыйная глейкасці. Калі радыус трубкі павялічваецца (каэфіцыент глейкасці і градыент ціску застаюцца нязменнымі), то хуткасць патоку вадкасці павялічваецца ў 16 разоў.

Асноўная канцэпцыя праектавання труб, шпрыцоў і г.д. выкарыстоўвае гэтае ўраўненне. Выдатак вадкасці прапарцыйны R₄ (R = радыус трубкі). Радыус шпрыца або радыус трубкі трэба разлічваць старанна. Напрыклад, калі падвоіць радыус іголкі (r x 2), то выкід вадкасці, якая распыляецца, павялічвае сілу ціску вялікага пальца ў 16 разоў.

Раўнанне Пуазейля таксама паказвае, што чацвёртая ступень радыуса (r⁴), адваротна прапарцыянальна рознасці ціскаў паміж двума канцамі трубы. Напрыклад, спачатку кроў цячэ ў крывяноснай пасудзіне з унутраным радыусам r. Калі адбываецца звужэнне крывяноснай пасудзіны (напрыклад, r/2 = унутраны радыус крывяноснай пасудзіны памяншаецца ў 2 разы), то для таго, каб кроў цякла як раней (каб аб'ёмны паток крыві заставаўся пастаянным), неабходная розніца ціскаў у 16 ​​разоў.