Прыклады пытанняў па законах Кірхгофа
Законы Кірхгофа з'яўляюцца важнай асновай аналізу электрычных ланцугоў, асабліва калі ланцуг нельга вырашыць, выкарыстоўваючы толькі закон Ома. У рэальным жыцці электрычныя ланцугі часта складаюцца з мноства галін, некалькіх крыніц напружання і некалькіх узаемазлучаных рэзістараў. Менавіта тут законы Кірхгофа дапамагаюць нам сістэматычна разлічваць сілу току, напружанне і кірунак току ў кожнай галінцы ланцуга. У гэтым артыкуле абмяркоўваецца кароткі змест канцэпцый законаў Кірхгофа і некалькі распаўсюджаных прыкладаў задач, а таксама крокі рашэння для лёгкага разумення.
Знаёмства з законам Кірхгофа
Увогуле, найбольш часта выкарыстоўваюцца два законы Кірхгофа:
1. Закон Кірхгофа I (KCL – дзеючы закон Кірхгофа)
Простымі словамі: сума токаў, якія ўваходзяць у вузел, роўная суме токаў, якія выходзяць з гэтага вузла.
Матэматычна:
\[
\sum I_{уваход} = \sum I_{выхад}
\]
або гэта таксама можна запісаць:
\[
\sum I = 0
\]
з дадатным знакам для ўваходнага току і адмоўным для выходнага току (у адпаведнасці з выкарыстоўванай дамоўленасцю).
2. Закон Кірхгофа II (KVL – закон Кірхгофа аб напружанні)
Простымі словамі: алгебраічная сума напружанняў у замкнёным контуры роўная нулю.
Матэматычна:
\[
\sum V = 0
\]
Гэта азначае, што агульны каэфіцыент узмацнення напружання (напрыклад, ад батарэі) роўны агульнаму падзенню напружання (на рэзістары або іншым кампаненце) у контуры.
Гэтыя два законы часта выкарыстоўваюцца разам: KCL для аналізу вузлоў, а KVL для аналізу цыклаў (сетак).
-
Прыклад пытання 1 (KCL): Ток у вузле
Пытанне:
У вузле ёсць тры ўваходныя токі, а менавіта \(I_1 = 2А\), \(I_2 = 3А\) і \(I_3 = 1А\). З вузла выходзяць два токі, а менавіта \(I_4\) і \(I_5 = 4А\). Вызначце значэнне \(I_4\).
Рашэнне:
Выкарыстайце першы закон Кірхгофа:
\[
Уваход = выхад
\]
Прыток:
\[
I_1 + I_2 + I_3 = 2 + 3 + 1 = 6А
\]
Адток:
\[
I_4 + I_5 = I_4 + 4
\]
Такім чынам:
\[
6 = I_4 + 4
\Правая стрэлка I_4 = 2A
\]
Адказ: \(I_4 = 2А\)
-
Прыклад пытання 2 (KVL): Простая пятля з паслядоўнымі рэзістарамі
Пытанне:
Аднакантрольны ланцуг складаецца з батарэі 12 В і двух паслядоўна злучаных рэзістараў (R_1 = 2 Амега) і (R_2 = 4 Амега). Вызначце сілу току ў ланцугу і падзенне напружання на кожным рэзістары.
Рашэнне:
З-за адзінарнага контуру і паслядоўных рэзістараў ток аднолькавы ва ўсіх кампанентах.
Агульны супраціў:
\[
R_{агульны} = R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6\Амега
\]
Ток ланцуга:
\[
I = \frac{V}{R} = \frac{12}{6} = 2А
\]
Падзенне напружання на \(R_1\):
\[
V_1 = I \cdot R_1 = 2 \cdot 2 = 4 В
\]
Падзенне напружання на \(R_2\):
\[
V_2 = I \cdot R_2 = 2 \cdot 4 = 8 В
\]
Праверце KVL:
\[
12 – 4 – 8 = 0
\]
У адпаведнасці.
Адказ: \(I = 2A\), \(V_1 = 4V\), \(V_2 = 8V\)
-
Прыклад 3 (KVL): Дзве пятлі (сеткавы метад)
Пытанне:
Існуе двухконтурная схема. Левы контур мае крыніцу напружання (V_1 = 10 В) і рэзістар (R_1 = 2 Амега). Правы контур мае крыніцу (V_2 = 5 В) і рэзістар (R_2 = 3 Амега). Абедзве петлі маюць агульны сярэдні рэзістар (R_3 = 4 Амега). Вызначце токі сеткі (I_a) (левы контур) і (I_b) (правы контур).
Рашэнне:
Дапусцім, што токі сеткі (I_a) і (I_b) накіраваны па гадзіннікавай стрэлцы. Сіла току ў агульным рэзістары (R_3) роўная (I_a – I_b) (у залежнасці ад кірунку дапушчэння).
Раўнанне KVL левага цыкла:
\[
10 – (2I_a) – 4(I_a – I_b) = 0
\]
\[
10 – 2I_a – 4I_a + 4I_b = 0
\Стрэлка направа 10 – 6I_a + 4I_b = 0
\Правая стрэлка 6I_a – 4I_b = 10
\]
Раўнанне KVL правага цыкла:
\[
5 – (3I_b) – 4(I_b – I_a) = 0
\]
\[
5 – 3I_b – 4I_b + 4I_a = 0
5 + 4I_a – 7I_b = 0
\Правая стрэлка 4I_a – 7I_b = -5
\]
Запоўніце сістэму:
1) \(6I_a – 4I_b = 10\)
2) \(4I_a – 7I_b = -5\)
Памножце раўнанне (1) на 2:
\[
12I_a – 8I_b = 20
\]
Памножце раўнанне (2) на 3:
\[
12I_a – 21I_b = -15
\]
Адняць:
\[
(12I_a – 8I_b) – (12I_a – 21I_b) = 20 – (-15)
\Правая стрэлка 13I_b = 35
\Правая стрэлка I_b = \frac{35}{13} \прыблізна 2.69А
\]
Падстаўляем у раўнанне (1):
\[
6I_a – 4(2.69) = 10
\Правая стрэлка 6I_a – 10.76 = 10
\Правая стрэлка 6I_a = 20.76
\Правая стрэлка I_a \прыблізна 3.46 А
\]
Адказ: \(I_a \прыблізна 3.46 А\), \(I_b \прыблізна 2.69 А\)
-
Прыклад пытання 4 (KCL + KVL): Паралельная галіновая схема
Пытанне:
Крыніца 12 В падключана да дзвюх паралельных галін. Галіна 1 змяшчае \(R_1 = 6\Омэга\), галіна 2 змяшчае \(R_2 = 3\Омэга\). Вызначце сілу току ў кожнай галіне і агульны ток.
Рашэнне:
Паколькі галіны паралельныя, напружанне на кожнай з іх аднолькавае, а менавіта 12 В.
Ток галіны 1:
\[
I_1 = \frac{12}{6} = 2А
\]
Ток галіны 2:
\[
I_2 = \frac{12}{3} = 4А
\]
З KCL у вузлах:
\[
I_{агульны} = I_1 + I_2 = 2 + 4 = 6А
\]
Адказ: \(I_1 = 2А\), \(I_2 = 4А\), \(I_{агульны} = 6А\)
-
Парады па вырашэнні задач на аснове закона Кірхгофа
1. Спачатку вызначце кірунак току. Калі вынік вымярэння току адмоўны, гэта азначае, што фактычны кірунак процілеглы здагадцы.
2. Пры запісе KVL захоўвайце знакі (+) і (-). Павелічэнне напружання ад крыніцы звычайна лічыцца дадатным, а падзенне напружання на рэзістары — адмоўным (у залежнасці ад кірунку контуру).
3. Па магчымасці спрасціце схему, напрыклад, злучыце рэзістары паслядоўна або паралельна, перш чым выкарыстоўваць рэзістары Кірхгофа.
4. Выкарыстоўвайце сістэматычныя метады: вузлавы аналіз для KCL або сеткавы аналіз для KVL.
-
Закрыццё
Законы Кірхгофа дапамагаюць вырашаць складаныя электрычныя ланцугі структураваным чынам. Авалодаўшы KCL і KVL, вы зможаце вызначыць сілу току ў кожнай галіны, падзенне напружання на кампанентах і зразумець агульную паводзіны ланцуга. Прыведзеныя вышэй прыклады паказваюць, што галоўнае — стварыць правільныя ўраўненні і старанна іх вырашыць. Пры рэгулярнай практыцы заканамернасці будуць лягчэй распазнаваць нават у больш складаных ланцугах.
Калі хочаце, я магу скласці дадатковыя 10 практычных пытанняў (без абмеркавання або з поўным абмеркаваннем), альбо напісаць варыянт са схемамі з больш падрабязным апісаннем.
