Прыклады пытанняў і абмеркаванне закона Гаўса

Прыклады пытанняў і абмеркаванне закона Гаўса

Закон Гаўса з'яўляецца ключавым слупом электрамагнетызму. Ён забяспечвае эфектыўны спосаб разліку электрычнага поля, якое ствараецца размеркаваннем электрычнага зарада. У гэтым артыкуле мы абмяркуем некалькі прыкладаў задач і абмяркуем прымяненне закона Гаўса ў розных сцэнарыях.

Асноўная канцэпцыя закона Гаўса

Перш чым пачаць з прыкладаў задач, давайце разгледзім асноўную канцэпцыю закона Гаўса. Закон Гаўса сцвярджае, што поўны электрычны паток (Phi_E), які выходзіць з замкнёнай паверхні, прапарцыйны агульнаму зараду (q_{in}), які знаходзіцца ў паверхні. Матэматычна закон Гаўса выражаецца наступным чынам:

\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

Дзе:

– \( \Phi_E \) — электрычны паток.
– \( \mathbf{E} \) — электрычнае поле.
– \( \mathbf{A} \) — вектар плошчы паверхні.
– \(q_{in} \) — зарад унутры замкнёнай паверхні.
– \( \epsilon_0 \) — дыэлектрычная пранікальнасць вакууму (\( \epsilon_0 \прыблізна 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \)).

Прыклад пытання 1: Электрычнае поле ў сферычнай пустой правадніцы

Пытанне:
У вас ёсць полая праводная сфера з вонкавым радыусам (R) і поўным зарадам (Q). Вызначце электрычнае поле ўнутры полага правадніка.

Абмеркаванне:
– Вызначэнне гаўсавай паверхні:
Дапусцім, што мы выбралі канцэнтрычную сферычную гаўсаву паверхню з радыусам \(r \) унутры праводнай поласці (дзе \(r < R \)). - Разлік патоку і зарада: Паколькі ўнутраная частка праводнай сферы з'яўляецца пустой поласці, зарад унутры гаўсавай паверхні роўны нулю (\(q_{in} = 0 \)). - Ужыванне закона Гаўса: Згодна з законам Гаўса: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

Паколькі q_{in} = 0, то электрычны паток таксама роўны нулю: [S = E] d A = A = 0] - Выснова: Паколькі электрычны паток роўны нулю, гэта азначае, што электрычнае поле (E) у кожнай кропцы ўнутры паражніны таксама роўна нулю. Такім чынам, электрычнае поле ўнутры праводнай паражніны роўна (0, N/C). Прыклад задачы 2: Электрычнае поле бясконцай пласцінай. Задача: Разлічыце электрычнае поле паблізу бясконцай металічнай пласціны, якая мае павярхоўную шчыльнасць зараду (sigma). Рашэнне: Вызначэнне гаўсавай паверхні: Выберыце цыліндрычную гаўсавую паверхню ў форме "гаўсавай скрынкі для таблетак" з паверхнямі над і пад пласцінай, кожная з якіх мае плошчу (A). - Разлік патоку і зарада: Агульны электрычны паток з абодвух канцоў паверхні складае: [Phi_E = 2EA], дзе E - электрычнае поле з абодвух бакоў пласціны. Поўны зарад (q_{in}), які знаходзіцца на гаўсавай паверхні, роўны: [q_{in} = \sigma \cdot A] - Ужыванне закона Гаўса: Згодна з законам Гаўса: [oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}] Такім чынам: [2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}] Спрошчваючы: [E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}] - Выснова: Электрычнае поле паблізу бясконцай металічнай пласціны роўнае: [E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}, \text{(N/C)}] Прыклад задачы 3: Электрычнае поле вакол кропкавага зарада Задача: Вылічыце электрычны ток электрычнага поля на адлегласці \(r \) ад кропкавага зарада \(q \). Абмеркаванне: - Вызначэнне гаўсавай паверхні: Выберыце сферычную гаўсаву паверхню з радыусам \(r \) з кропкавага зарада \(q \). - Разлік патоку і зарада: Поўны электрычны паток, які выходзіць з гаўсавай паверхні, складае: \[ \Phi_E = E \cdot 4\pi r^2 \] Поўны зарад \(q_{in} \), які знаходзіцца ў гаўсавай паверхні, - гэта кропкавы зарад \(q \). - Ужыванне закона Гаўса: Згодна з законам Гаўса: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] Такім чынам: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \] Спрошчваючы: \[ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \] - Выснова: Электрычнае поле на адлегласці \(r \) ад кропкавага зарада \(q \) роўна: \[ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)} \] Прыклад пытання 4: Электрычнае поле ўнутры і звонку сферы, якая змяшчае аднастайны зарад Пытанне: Цвёрдая сфера з радыусам \(R \) мае поўны зарад \(Q \), які размеркаваны аднастайна. Вылічыце электрычнае поле ў пункце ўнутры сферы (\(r < R \)) і па-за сферай (\(r > R \)).

Абмеркаванне:

Для \( r < R \): - Вызначэнне гаўсавай паверхні: выберыце сферычную гаўсаву паверхню радыуса \( r \) унутры цвёрдай сферы. - Разлік зарада: паколькі зарад размеркаваны раўнамерна, зарад у радыусе \( r \) роўны: \[ q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \], дзе \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \). \[ q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right) \] - Ужыванне закона Гаўса: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] Такім чынам: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0} \] Спрошчваючы: \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] Такім чынам, электрычнае поле ўнутры сферы (\( r < R \)) роўна: \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] Для \(r > R \):

– Вызначэнне гаўсавай паверхні:
Выберыце сферычную гаўсаву паверхню з радыусам \(r \) па-за цвёрдай сферай.

– Разлік нагрузкі:
Агульны зарад на гаўсавай паверхні — гэта агульны зарад сферы (Q).

– Прымяненне закона Гаўса:

\[
\point_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

Такім чынам:

\[
E \cdot 4\π r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]

Спрашчаючы:

\[
E = \frac{Q}{4\π \epsilon_0 r^2}
\]

Такім чынам, электрычнае поле па-за сферай (\( r > R \)) роўнае:

\[
E = \frac{Q}{4\π \epsilon_0 r^2}
\]

Выснова

Закон Гаўса забяспечвае магутны інструмент для аналізу электрычных палёў у самых розных сітуацыях. Выбіраючы адпаведную гаўсаву паверхню і ўжываючы яе асноўныя прынцыпы, мы можам больш эфектыўна разлічваць размеркаванне электрычнага поля. На прыведзеных вышэй прыкладах мы ўбачылі прымяненне закона Гаўса ў такіх сітуацыях, як электрычнае поле ў праводнай сферы, бясконцая металічная пласціна, кропкавы зарад і сфера, якая змяшчае аднастайны зарад. Паслядоўнае разуменне і практыка забяспечаць надзейнае прымяненне закона Гаўса ў розных электрамагнетыстычных ужываннях.