Вектары — важнае паняцце ў фізіцы, якое выкарыстоўваецца для прадстаўлення велічынь, якія маюць як велічыню, так і кірунак. У фізіцы вектары часта выкарыстоўваюцца для апісання розных з'яў, такіх як сіла, хуткасць, паскарэнне і іншыя. У гэтым артыкуле будуць разгледжаны некалькі прыкладаў вектарных задач у фізіцы, а таксама іх рашэнні і тлумачэнні.
1. Складанне і адніманне вектараў
Прыклад пытання 1:
Два вектары \(\mathbf{A}\) і \(\mathbf{B}\) зададзены наступным чынам:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
Разлічыць:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)
Рашэнне:
Каб скласці два вектары, мы складаем іх кампаненты асобна.
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4 – 5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Такім чынам, вынік такі:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
2. Скалярнае множанне (скалярны здабытак)
Прыклад пытання 2:
Два вектары \(\mathbf{C}\) і \(\mathbf{D}\) зададзены наступным чынам:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
Вылічыце скалярны здабытак (скалярны здабытак) \(\mathbf{C}\) і \(\mathbf{D}\).
Рашэнне:
Скалярны здабытак двух вектараў \(\mathbf{C}\) і \(\mathbf{D}\) роўны:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 \cdot 3 + 2 \cdot 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]
Такім чынам, вынік скалярнага здабытку \(\mathbf{C}\) і \(\mathbf{D}\) роўны 26.
3. Крыжовы здабытак
Прыклад пытання 3:
Два вектары \(\mathbf{E}\) і \(\mathbf{F}\) зададзены наступным чынам:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
Вылічыце векторны здабытак \(\mathbf{E}\) і \(\mathbf{F}\).
Рашэнне:
Векторны здабытак двух вектараў \(\mathbf{E}\) і \(\mathbf{F}\) можна вылічыць з дапамогай матрычнага вызначніка:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4, 5 і 6
\end{vmatrix}
\]
Вылічыце вызначнік матрыцы:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4)
\]
\[
= \mathbf{i} (12 – 15) – \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
Такім чынам, вынік вектарнага здабытку \(\mathbf{E}\) і \(\mathbf{F}\) мае выгляд:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
4. Велічыня вектара
Прыклад пытання 4:
Дадзены вектар \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\). Вылічыце велічыню (даўжыню) вектара \(\mathbf{G}\).
Рашэнне:
Велічыню вектара \(\mathbf{G}\) можна вылічыць па формуле:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]
Такім чынам, велічыня вектара \(\mathbf{G}\) роўная 5.
5. Вектарнае разрозненне
Прыклад пытання 5:
Вектар \(\mathbf{H}\) мае велічыню 10 адзінак і ўтварае вугал 30° з воссю x. Вызначце кампаненты вектара \(\mathbf{H}\) на восях x і y.
Рашэнне:
Кампаненты вектара \(\mathbf{H}\) на восях x (\(\mathbf{H}_x\)) і y (\(\mathbf{H}_y\)) можна вылічыць з дапамогай трыганаметрыі:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\тэта)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \грэх(\тэта)
\]
Пры \(|\mathbf{H}| = 10\) і \(\theta = 30°\):
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \sin(30°)
\]
Значэнні \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) і \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\):
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
Такім чынам, кампаненты вектара \(\mathbf{H}\) наступныя:
\[
\mathbf{H}_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]
Выснова
У гэтым артыкуле мы разгледзелі некалькі прыкладаў задач, звязаных з вектарамі ў фізіцы, пачынаючы ад складання і аднімання вектараў, скалярнага і ўзаемазвязанага множання і заканчваючы велічынёй і раздзяляльнай здольнасцю вектараў. Разуменне канцэпцыі і прынцыпаў працы вектараў мае вырашальнае значэнне ў фізіцы, таму што многія прыродныя з'явы можна растлумачыць з дапамогай вектараў. Спадзяемся, што гэтыя прыклады задач дапамогуць вам глыбей зразумець канцэпцыю вектараў.
