Прыклады пытанняў па абмеркаванні двухмерных вектараў у сістэме каардынат
Вектар — гэта велічыня, якая мае і велічыню, і кірунак. Вектары часта выкарыстоўваюцца ў розных прадметах матэматыкі і фізікі для прадстаўлення розных з'яў. У гэтым артыкуле мы разгледзім прыклады двухмерных вектараў у сістэме каардынат.
Асноўныя паняцці вектараў у сістэмах каардынат
Вектар у двухмернай сістэме каардынат можна прадставіць як \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), дзе \(a_1\) — гэта x-кампанента вектара, а \(a_2\) — y-кампанента вектара. Вектар можна раскласці на дзве кампаненты, а менавіта x-кампаненту і y-кампаненту.
Складанне і адніманне вектараў
Складанне двух вектараў \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) і \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) мае выгляд:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Пакуль зніжэнне складае:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Скалярнае множанне
Калі \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) і \(k\) — скаляр, то \(k\vec{A}\) мае выгляд:
\[
k\vec{A} = (k ∈ a_1, k ∈ a_2)
\]
Велічыня вектара
Велічыня або даўжыня вектара \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) роўная:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Адзінкавы вектар
Адзінкавы вектар — гэта вектар даўжынёй у адну адзінку. Адзінкавы вектар \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) мае выгляд:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1: Складанне і адніманне вектараў
Два вектары дадзены наступным чынам: \(\vec{A} = (3, 4)\) і \(\vec{B} = (1, 2)\). Знайдзіце здабытак \(\vec{A} + \vec{B}\) і \(\vec{A} – \vec{B}\).
Абмеркаванне:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Пытанне 2: Скалярнае множанне
Улічваючы вектар \(\vec{C} = (2, -3)\, вылічыце \(3\vec{C}\) і \(-2\vec{C}\).
Абмеркаванне:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Пытанне 3: Велічыня вектара
Вылічыце велічыню вектара \(\vec{D} = (5, 12)\).
Абмеркаванне:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Пытанне 4: Адзінкавыя вектары
Знайдзіце адзінкавы вектар вектара \(\vec{E} = (4, 3)\).
Абмеркаванне:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5})
\]
Пытанне 5: Размяшчэнне і адлегласць вектараў
Дзве кропкі на двухмернай каардынатнай плоскасці — гэта P(2, 3) і Q(5, 7). Вызначце вектар становішча з кропкі P у кропку Q і адлегласць паміж імі.
Абмеркаванне:
Вектар становішча ад P да Q мае выгляд:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Адлегласць паміж пунктамі P і Q роўная:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Пытанне 6: Вынік скалярнага здабытку
Калі \(\vec{F} = (-3, 4)\) і \(\vec{G} = (2, 1)\), вылічыце скалярны здабытак \(\vec{F} \cdot \vec{G}\).
Абмеркаванне:
Скаляровы здабытак двух вектараў роўны:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Пытанне 7: Кут паміж двума вектарамі
Калі \(\vec{H} = (7, -4)\) і \(\vec{I} = (3, 0)\), вызначце вугал паміж двума вектарамі.
Абмеркаванне:
Каб вызначыць вугал паміж двума вектарамі, мы выкарыстоўваем формулу:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Спачатку вылічыце скалярны здабытак \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Затым вылічыце велічыні \(\vec{H}\) і \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Увядзіце гэтыя значэнні ў формулу:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Такім чынам, (θ = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right)).
Пытанне 8: Вектарная праекцыя
Для вектараў \(\vec{J} = (2, 1)\) і \(\vec{K} = (-1, 3)\) вылічыце праекцыю \(\vec{J}\) на \(\vec{K}\).
Абмеркаванне:
Праекцыя \(\vec{J}\) на \(\vec{K}\) такая:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \справа) \vec{K}
\]
Спачатку вылічыце скалярны здабытак \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Тады велічыня \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Такім чынам,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Увядзіце ў формулу:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left(-\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Гэта прыклады задач і дыскусій, звязаных з двухмернымі вектарамі ў сістэме каардынат. Добрае разуменне вектараў можа быць карысным у многіх сферах прымянення матэматыкі, фізікі і інжынерыі. Практыкаванне з рознымі прыкладамі можа паглыбіць ваша разуменне гэтай канцэпцыі, што дазволіць эфектыўна ўжываць яе ў розных сітуацыях.
