Прыклады пытанняў па абмеркаванні дысперсіі і стандартнага адхілення групавых дадзеных
Пендахулуан
У статыстыцы дысперсія і стандартнае адхіленне — гэта дзве статыстычныя меры, якія маюць вырашальнае значэнне для разумення дысперсіі або разыходжання дадзеных ад сярэдняга значэння. Дысперсія вымярае, наколькі дадзеныя разыходзяцца ад сярэдняга значэння, а стандартнае адхіленне — гэта квадратны корань з дысперсіі, які забяспечвае меру, якая знаходзіцца ў тых жа адзінках, што і зыходныя дадзеныя.
Азначэнне
– Дысперсія (σ² або S²): гэта сярэдняе значэнне квадратаў рознасцей паміж кожным значэннем дадзеных і сярэдняе значэнне дадзеных.
– Стандартнае адхіленне (σ або S): гэта квадратны корань з дысперсіі.
Формула для дысперсіі і стандартнага адхілення групавых дадзеных
Для групавых дадзеных мы выкарыстоўваем частату дадзеных у кожным класе. Вось формула:
Varian
\[S^2 = \frac{ \sum f_i \left(x_i – \bar{x} \right)^2 }{N-1 } \]
Стандартнае адхіленне
\[S = \sqrt{S^2} \]
Дзе:
– \(f_i \) = частата кожнага класа.
– \(x_i \) = сярэдняя кропка кожнага класа.
– \( \bar{x} \) = сярэдняе значэнне групавых дадзеных.
– \( N \) = агульная колькасць дадзеных.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Дапусцім, у нас ёсць дадзеныя аб вазе групы людзей, згрупаваных у класы.
| Інтэрвал вагі (кг) | Частата (f) |
|————————|—————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Першы крок — вызначыць сярэдзіну кожнага класа ( \(x_i \) ), а затым вылічыць сярэдняе значэнне ( \( \bar{x} \) ).
1. Вылічэнне сярэдзіны ( \(x_i \) )
\[ \text{Сярэдні пункт} = \frac{\text{Ніжняя мяжа} + \text{Верхняя мяжа}}{2} \]
| Інтэрвал вагі (кг) | Частата (f) | Сярэдняя кропка ( \(x_i \) ) |
|——————|—————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Вылічэнне сярэдняга значэння ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Агульная колькасць дадзеных \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 × 52) + (5 × 57) + (8 × 62) + (7 × 67) + (3 × 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Такім чынам, сярэдняе значэнне (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{1570} 25 = 62.8 \]
3. Вылічэнне дысперсіі ( \( S^2 \) )
Нам трэба вылічыць ( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{выраўнаваць}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{выраўнаваць}
\]
Памнажэнне на частату:
\[
\begin{выраўнаваць}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \times 33.64 = 168.2 \\
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 памножана на 17.64 = 123.48
& 3 \times 84.64 = 253.92
\end{выраўнаваць}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Цяпер мы можам вылічыць дысперсію (\( S^2 \)):
\[S^2 = \frac{788.4}{25 – 1} = \frac{788.4}{24} \прыблізна 32.85 \]
4. Вылічэнне стандартнага адхілення ( \(S \) )
Стандартнае адхіленне ( \(S \)):
\[S = \sqrt{S^2} \]
S = 32.85 прыблізна 5.73
Выснова
З прыведзеных вышэй прыкладаў дадзеных маем:
– Разлік сярэдняй масы цела: 62.8 кг
– Разлік адхіленняў: 32.85 кг²
– Разлік стандартнага адхілення: 5.73 кг
Інтэрпрэтацыя стандартнага адхілення заключаецца ў тым, што сярэдняе адхіленне дадзеных вагі ад сярэдняга значэння складае прыблізна 5.73 кг. Гэта паказвае на роскід дадзеных адносна сярэдняга значэння, што можа дапамагчы высветліць, наколькі зменлівыя нашы дадзеныя.
Глыбокае разуменне дысперсіі і стандартнага адхілення мае вырашальнае значэнне, асабліва для тых, хто працуе ў галіне статыстыкі, даследаванняў і тэсціравання, бо яны спрабуюць зразумець дадзеныя ў выглядзе груп або размеркаванняў. Веданне таго, як разлічваць і інтэрпрэтаваць гэтыя дзве меры, можа дапамагчы ў прыняцці лепшых рашэнняў на аснове наяўных дадзеных.
