Прыклады пытанняў па трох трыганаметрычных суадносінах
Трыганаметрыя — гэта раздзел матэматыкі, які вывучае сувязь паміж даўжынямі і вугламі ў трыкутніках. Адным з фундаментальных паняццяў трыганаметрыі з'яўляюцца трыганаметрычныя суадносіны: сінус (sin), косінус (cos) і тангенс (tan). У гэтым артыкуле будуць разгледжаны некалькі прыкладаў задач і падрабязнае абмеркаванне трыганаметрычных суадносін для палягчэння вашага разумення.
1. Разуменне трох трыганаметрычных суадносін
Перш за ўсё, давайце разбярэмся, што азначаюць сінус, косінус і тангенс.
– Сінус (sin) вугла — гэта стаўленне даўжыні процілеглага боку вугла да даўжыні гіпатэнузы трохвугольніка.
– Косінус (cos) вугла — гэта стаўленне даўжыні прылеглай да вугла стараны да даўжыні гіпатэнузы трыкутніка.
– Тангенс (tg) вугла — гэта стаўленне даўжыні процілеглага боку вугла да даўжыні прылеглага боку. Тангенс таксама можна выразіць як дзель сінуса і косінуса: tg(θ) = sin(θ) / cos(θ).
2. Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1:
Дадзены прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай 10 см і катэтарам насупраць вугла θ, роўным 6 см. Вызначце значэнні sin, cos і tan вугла θ.
Абмеркаванне:
Каб знайсці значэнні sin(θ), cos(θ) і tan(θ), нам таксама трэба ведаць даўжыню прылеглага боку. Давайце скарыстаемся тэарэмай Піфагора, каб знайсці даўжыню прылеглага боку.
Тэарэма Піфагора:
\[a^2 + b^2 = c^2 \]
дзе c — гіпатэнуза, a — процілеглы бок вугла, а b — прылеглы бок вугла.
Дадзена:
– Гіпатэнуза (c) = 10 см
– Пярэдняя частка вугла θ (a) = 6 см
Такім чынам:
\[a^2 + b^2 = c^2 \]
\[6^2 + b^2 = 10^2 \]
\[36 + b^2 = 100 \]
\[b^2 = 64 \]
\[b = \sqrt{64} \]
\[b = 8 \]
Такім чынам, даўжыня боку (b) роўная 8 см.
Далей мы можам вылічыць значэнні сінуса, косінуса і тангенса:
– Sin(θ) = супрацьлеглы бок / гіпатэнуза
\[ \sin(θ) = \frac{6}{10} = 0.6 \]
– Cos(θ) = Бакавая частка / Гіпатэнуза
\[ \cos(θ) = \frac{8}{10} = 0.8 \]
– Tan(θ) = Пярэдні бок / Бакавы бок
\[ \tan(θ) = \frac{6}{8} = 0.75 \]
Пытанне 2:
Дадзены прамавугольны трохвугольнік, даўжыня процілеглага боку вугла α якога роўная 5 см, а даўжыня прылеглага боку вугла α роўная 12 см. Знайдзіце значэнні sin, cos і tan вугла α.
Абмеркаванне:
Як і ў пытанні 1, давайце скарыстаемся тэарэмай Піфагора, каб знайсці даўжыню гіпатэнузы.
Дадзена:
– Пярэдняя старана вугла α (a) = 5 см
– Старонка вугла α (b) = 12 см
Выкарыстайце тэарэму Піфагора:
\[a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 5^2 + 12^2 = c^2 \]
\[25 + 144 = c^2 \]
\[ 169 = c^2 \]
\[c = \sqrt{169} \]
\[ c = 13 \]
Такім чынам, даўжыня гіпатэнузы (c) роўная 13 см.
Далей мы можам вылічыць значэнні сінуса, косінуса і тангенса:
– Sin(α) = супрацьлеглы бок / гіпатэнуза
\[ \sin(α) = \frac{5}{13} \]
– Cos(α) = катэгорыя / гіпатэнуза
\[ \cos(α) = \frac{12}{13} \]
– Tan(α) = Пярэдні бок / Бок
\[ \tan(α) = \frac{5}{12} \]
Пытанне 3:
Калі вядома, што sin β = 0.6 і вугал β ляжыць у I квадранце, знайдзіце значэнні cos β і tan β.
Абмеркаванне:
Улічваючы sin β = 0.6
Мы ведаем, што ў квадранце I значэнне cos β таксама дадатнае.
Выкарыстоўвайце асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці:
\[ \sin^2(β) + \cos^2(β) = 1 \]
\[ (0.6)^2 + \cos^2(β) = 1 \]
\[0.36 + \cos^2(β) = 1 \]
\cos^2(β) = 1 – 0.36 \]
\cos^2(β) = 0.64 \]
\cos(β) = \sqrt{0.64} \]
\cos(β) = 0.8 \]
Далей мы можам вылічыць значэнне тангенса:
\[ \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \]
\[ \tan(β) = \frac{0.6}{0.8} \]
\[ \tan(β) = 0.75 \]
3. Кесімпулан
Паняцце трыганаметрычнай трыяды (sin, cos, tan) з'яўляецца фундаментальным і вырашальным для разумення трыганаметрыі ў цэлым. Разумеючы, як знаходзіць і вылічваць гэтыя тры значэнні ў розных тыпах трыкутнікаў, можна вырашаць шырокі спектр трыганаметрычных задач. Вышэйзгаданыя задачы павінны дапамагчы вам зразумець, як прымяняць гэтыя паняцці ў розных кантэкстах.
Добрае разуменне трыганаметрыі таксама дапаможа вам лягчэй вывучаць больш складаныя тэмы ў матэматыцы і прыродазнаўчых навуках, такія як вышэйшая матэматыка і фізіка. Не саромейцеся працягваць практыкавацца і паглыбляць сваё разуменне гэтых паняццяў, каб дасягнуць больш высокага ўзроўню майстэрства.
