Прыклады пытанняў па абмеркаванні сістэм лінейных няроўнасцей
Сістэма лінейных няроўнасцей — гэта раздзел матэматыкі, які вывучае сувязі паміж некалькімі лінейнымі няроўнасцямі. Гэтая сістэма складаецца з дзвюх або больш няроўнасцей, якія патрабуюць рашэння, каб знайсці набор рашэнняў, які задавальняе ўсе няроўнасці адначасова. Абмеркаванні сістэм лінейных няроўнасцей часта сустракаюцца ў праграме па матэматыцы ў сярэдняй і старэйшай школе, як у экзаменацыйных пытаннях, так і ў паўсядзённай практыцы.
Сістэмы лінейных няроўнасцей маюць мноства рэальных ужыванняў, пачынаючы ад аптымізацыі рэсурсаў і фінансавага планавання і заканчваючы лагістыкай. Разуменне гэтых канцэпцый мае вырашальнае значэнне не толькі для рашэння матэматычных задач у школе, але і рыхтуе вучняў да лагічнага і эфектыўнага вырашэння паўсядзённых задач. Ніжэй прыведзены некаторыя прыклады задач і абмеркаванні сістэм лінейных няроўнасцей.
Прыклад пытання 1
Пытанне:
Вызначце мноства рашэнняў наступнай сістэмы лінейных няроўнасцей:
\[
\begin{выпадкі}
x + y \leq 6 \\
x – y ≥ 2
\end{выпадкі}
\]
Абмеркаванне:
1. Правядзіце мяжу для кожнай няроўнасці:
Для \(x + y ≤ 6\) мы праводзім лінію \(x + y = 6\):
– Калі \(x = 0\), \(y = 6\) стварае кропку (0, 6).
– Калі \(y = 0\), \(x = 6\) стварае кропку (6, 0).
Для \(x – y ≥ 2\) мы праводзім лінію \(x – y = 2\):
– Калі \(x = 2\), \(y = 0\) стварае кропку (2, 0).
– Калі \(y = -2\), \(x = 0\) стварае кропку (0, -2).
2. Вызначце тэрыторыю паселішча:
– Лінія \(x + y = 6\) дзеліць яе на дзве вобласці, і мы правяраем адну тэставую кропку, якая не знаходзіцца на лініі, напрыклад, кропку (0, 0):
\[
0 + 0 \leq 6 \quad (\text{true})
\]
Такім чынам, плошча, якая задавальняе ўмовам, знаходзіцца ніжэй або злева ад прамой (x + y = 6).
– Лінія (x – y = 2) зноў дзеліць экран на дзве вобласці, і мы правяраем кропку (0, 0):
\[
0 – 0 \geq 2 \quad (\text{false})
\]
Такім чынам, плошча, якая задавальняе ўмовам, знаходзіцца вышэй або правей прамой (x – y = 2).
3. Вызначце кропку перасячэння дзвюх абласцей:
Рашэннем сістэмы з'яўляецца вобласць, якая задавальняе абедзве няроўнасці. Мы шукаем перасячэнне дзвюх абласцей, якое адпавядае кірунку кожнай няроўнасці.
Кесімпулан:
Мноства рашэнняў сістэмы лінейных няроўнасцей — гэта ўсе кропкі перасячэння дзвюх абласцей, якія задавальняюць умовам (x + y ≤ 6) і (x – y ≥ 2).
Прыклад пытання 2
Пытанне:
Вызначце мноства рашэнняў наступнай сістэмы лінейных няроўнасцей у першым квадранце:
\[
\begin{выпадкі}
2x + 3y \leq 12 \\
x \geq 0 \\
y \geq 0 \\
\end{выпадкі}
\]
Абмеркаванне:
1. Правядзіце мяжу для кожнай няроўнасці:
Для \(2x + 3y \leq 12\) мы праводзім лінію \(2x + 3y = 12\):
– Калі \(x = 0\), \(y = 4\) стварае кропку (0, 4).
– Калі \(y = 0\), \(x = 6\) стварае кропку (6, 0).
2. Вызначце тэрыторыю паселішча:
– Лінія \(2x + 3y = 12\) і кантрольная кропка (0, 0):
\[
2(0) + 3(0) ≥ 12 √(true)
\]
Такім чынам, плошча, якая задавальняе ўмоўнасць, знаходзіцца ніжэй або злева ад прамой \(2x + 3y = 12\).
– \(x ≥ 0\) і \(y ≥ 0\) паказваюць, што кропка рашэння знаходзіцца ў першым квадранце.
3. Вызначце кропку перасячэння дзвюх абласцей:
Рашэннем сістэмы з'яўляецца плошча ў першым квадранце, якая знаходзіцца ніжэй або злева ад прамой \(2x + 3y = 12\).
Кесімпулан:
Мноства рашэнняў сістэмы лінейных няроўнасцей — гэта пункты ў першым квадранце, якія задавальняюць умову \(2x + 3y \leq 12\).
Прыклад пытання 3
Пытанне:
Вызначце мноства рашэнняў наступнай сістэмы лінейных няроўнасцей:
\[
\begin{выпадкі}
y \geq 2x – 3 \\
y ≤ q -x + 1
\end{выпадкі}
\]
Абмеркаванне:
1. Правядзіце мяжу для кожнай няроўнасці:
Для \(y ≥ 2x – 3\) мы праводзім лінію \(y = 2x – 3\):
– Калі \(x = 0\), \(y = -3\) стварае кропку (0, -3).
– Калі \(y = 0\), \(x = 1,5\) стварае кропку (1.5, 0).
Для \(y ≤ -x + 1\) мы праводзім лінію \(y = -x + 1\):
– Калі \(x = 0\), \(y = 1\) стварае кропку (0, 1).
– Калі \(y = 0\), \(x = 1\) стварае кропку (1, 0).
2. Вызначце тэрыторыю паселішча:
– Прамая (y ∈ 2x – 3) правяраецца з дапамогай пункта (0, 0):
\[
0 \geq 2(0) – 3 \quad (\text{true})
\]
Такім чынам, плошча, якая задавальняе ўмовам, знаходзіцца вышэй або правей ад прамой \(2x – 3\).
– Прамая (y ≤ x + 1) правяраецца з дапамогай пункта (0, 0):
\[
0 \leq -0 + 1 \quad (\text{true})
\]
Такім чынам, плошча, якая задавальняе ўмовам, знаходзіцца ніжэй або злева ад прамой (-x + 1).
3. Вызначце кропку перасячэння дзвюх абласцей:
Рашэннем сістэмы з'яўляецца вобласць, якая задавальняе абедзве няроўнасці. Мы шукаем вобласць перасячэння паміж двума няроўнасцямі.
Кесімпулан:
Мноства рашэнняў сістэмы лінейных няроўнасцей — гэта кропкі ў перасячэнні вобласці, якія задавальняюць умовы (y ≥ 2x – 3) і (y ≤ -x + 1).
Разумеючы, як вырашаць сістэмы лінейных няроўнасцей, вучні стануць больш умелымі ў вырашэнні матэматычных задач і ўжыванні гэтых паняццяў у паўсядзённых сітуацыях. Спадзяемся, што гэтыя прыклады задач і абмеркаванні дапамогуць вучням вывучыць і зразумець асноўныя паняцці сістэм лінейных няроўнасцей.
