Прыклады пытанняў па абмеркаванні ўраўнення датычнай да акружнасці
Пендахулуан
Ураўненне датычнай да акружнасці — важная тэма ў аналітычнай геаметрыі. Разуменне таго, як вызначыць ураўненне датычнай да акружнасці, можа дапамагчы ў вырашэнні шырокага спектру матэматычных задач ад сярэдняга да прасунутага ўзроўню. У гэтым артыкуле будуць разгледжаны розныя прыклады задач і метады вызначэння ўраўнення датычнай да акружнасці.
Вызначэнне і асноўная тэорыя
Акружнасць у каардынатнай плоскасці звычайна можна прадставіць квадратным ураўненнем:
\[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
дзе \((a, b)\) — цэнтр акружнасці, а \(r\) — радыус акружнасці.
Датычная да акружнасці з вонкавага пункта — гэта прамая, якая датыкаецца акружнасці роўна ў адным пункце. Калі выказаць здагадку, што прамая мае ўраўненне:
\[y = mx + c \]
тады ўмову датычнасці прамой (y = mx + c) да акружнасці можна запісаць у наступным выглядзе:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Дзе m — градыент датычнай, а c — канстанта.
Формула ўраўнення датычнай
Для датычнай да акружнасці з цэнтрам (0,0) і радыусам (r) яе ўраўненне ў пункце (x_1, y_1) на акружнасці мае выгляд:
\[x_1x + y_1y = r^2 \]
Але калі цэнтр акружнасці знаходзіцца ў пункце \((a, b)\), то ўраўненне мае выгляд:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Прыклады пытанняў і абмеркавання
Пытанне 1
Акружнасць з цэнтрам у пункце (3, 4) і радыусам 5 адзінак. Вызначце ўраўненне датычнай з пункта (6, 8).
Абмеркаванне:
У гэтай задачы нам дадзена акружнасць з цэнтрам у кропцы \((3, 4)\), радыус якой роўны 5, і мы павінны знайсці ўраўненне датычнай з кропкі \((6, 8)\). Вось крокі для яе вырашэння:
1. Праверце, ці кропка \((6, 8)\) не знаходзіцца ўнутры акружнасці: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Такім чынам, кропка знаходзіцца на акружнасці, таму яе можна выкарыстоўваць для пошуку датычнай.
2. Выкарыстоўваючы формулу:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Спрасціце ўраўненне:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Распрацаваць:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Атрыманае ўраўненне датычнай лініі мае выгляд:
\[
3x + 4y = 50
\]
Пытанне 2
Акружнасць з ураўненнем \[x^2 + y^2 = 16\]. Вызначце ўраўненне датычнай з пункта \((4, 0)\).
Абмеркаванне:
Акружнасць з цэнтрам у пункце (0, 0) і радыусам 4 адзінкі. Дадзеная знешняя кропка — (4, 0)).
1. Выкарыстоўваючы формулу для акружнасці з цэнтрам \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Замяшчэнне значэнняў:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Спрасціце:
\[
4x = 16
\]
\[
х = 4
\]
Гэта азначае, што датычнае ўраўненне, якое мы маем, мае выгляд:
\[
х = 4
\]
Пытанне 3
Правядзіце лінію, якая з'яўляецца датычнай да акружнасці ((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9) у пункце ((-1, 5)).
Абмеркаванне:
Акружнасць з цэнтрам у пункце (-2, 3) і радыусам 3 адзінкі. Пункт дотыку — (-1, 5)).
1. Праверце, ці кропка ляжыць на акружнасці:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{не на крузе}
\]
Такім чынам, пры ўводзе пытання або пункта можа быць памылка. Калі ў якасці пункта дотыку зададзена \((-2, 6)\):
2. Спрасціце:
\[
(x_1 - a)(xa) + (y_1 - b)(yb) = r^2
\]
Замена:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Вынік:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3г-9=9
\]
\[
у = 6
Аказваецца, што пункт і асобы:
y = 6, безумоўна, справядліва.
Праверка высновы, камбінацыя, запамінанне, 2 спосабы падліку.
сапраўдны/хлусня..Гэта плюс зводка gar. td 2; форма праверыць з дапамогай (сеткі). plis перыметр усе кнопкі пакрыцця.
Вось і ўсё, дзякуй, спадзяюся, гэта будзе карысна для маіх сяброў.
Акрамя таго, вывучыце канцэпцыю ўмацавання разумення.
Тыя, хто раней не разумеў, дасць Бог, атрымаюць больш падрабязныя крытычныя хірургічныя крокі.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{прадухіляе}-fu.
"
