Прыклады пытанняў па абмеркаванні складання вектараў па кампанентах
Складанне вектараў — гэта фундаментальная працэдура ў фізіцы і матэматыцы, якая выкарыстоўваецца для знаходжання выніковай сумы двух або больш вектараў. Кампанентны падыход да рашэння задачы складання вектараў з'яўляецца асабліва карысным метадам, асабліва пры працы з вектарамі ў двух або трох вымярэннях. У гэтым артыкуле будзе растлумачана канцэпцыя пакампанентнага складання вектараў і прыведзена некалькі прыкладаў задач і рашэнняў.
Канцэпцыя кампанентнага складання вектараў
Кожны вектар у двухмернай (2D) прасторы можна раскласці на дзве складнікі: x-кампанент (гарызантальны) і y-кампанент (вертыкальны). У трох вымярэннях (3D) вектары маюць дадатковы кампанент — z-кампанент (глыбіню).
Дапусцім, у нас ёсць два вектары A і B. Кампаненты гэтых вектараў можна выразіць наступным чынам:
– Вектар А мае кампаненты \(A_x\) і \(A_y\) у 2D (ці таксама \(A_z\) у 3D).
– Вектар B мае кампаненты \(B_x\) і \(B_y\) у 2D (ці таксама \(B_z\) у 3D).
Складанне гэтых двух вектараў дасць выніковы вектар R, які мае наступныя кампаненты:
\[R_x = A_x + B_x \]
\[R_y = A_y + B_y \]
Для вектараў у 3D z-кампанента таксама мае наступны выгляд:
\[R_z = A_z + B_z \]
Пасля вылічэння кожнага кампанента выніковага вектара мы можам знайсці модуль (велічыню) і кірунак выніковага вектара, выкарыстоўваючы формулу:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (для 2D)
Або для 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
А кірунак выніковага вектара можна вызначыць вуглом да восяў каардынат.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1
Дадзены два вектары ў двухмернай плоскасці:
– Пункт A знаходзіцца на ўсходзе (5 унцый).
– B знаходзіцца на поўначы ад \(3 \, \text{unit}\).
Вызначце выніковы вектар R.
Абмеркаванне
Спачатку мы пераўтвараем вектар у яго адпаведныя кампаненты.
– Вектар A: \(A = (5, 0)\), таму што ён мае толькі кампаненту x.
– Вектар B: \(B = (0, 3)\), таму што ён мае толькі кампаненту y.
Вось сума кампанентаў:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Тады атрыманы вектар R мае выгляд:
\[R = (5, 3) \]
Каб вылічыць даўжыню (модуль) вектара R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \прыблізна 5.83 \]
Кірунак вектара R можна вылічыць, выкарыстоўваючы вугал θ да восі x:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \прыблізна 30.96^\circ \]
Такім чынам, атрыманы вектар R мае даўжыню каля 5.83 адзінак і ўтварае з воссю x вугал 30.96°.
Пытанне 2
Дадзены два вектары ў трох вымярэннях:
– А роўна (3i + 2j + 1k)
– B роўна (1 i + 4 j + 2 k)
Вызначце выніковы вектар R.
Абмеркаванне
Спачатку вызначым кампаненты кожнага вектара:
– Вектар А: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Вектар B: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Вось сума кампанентаў:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Тады атрыманы вектар R мае выгляд:
\[R = (4, 6, 3) \]
Каб вылічыць даўжыню (модуль) вектара R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \прыблізна 7.81 \]
Кірунак вектара R адносна восяў x, y і z можна вылічыць з дапамогай косінуса дырэктара:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \прыблізна 0.512 \]
\[ \альфа = \arccos(0.512) \прыблізна 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \прыблізна 0.768 \]
\[ \бета = \arccos(0.768) \прыблізна 39.50^\circ \]
\[ \cos(\γ) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \прыблізна 0.384 \]
\[ \γ = \arccos(0.384) \прыблізна 67.64^\circ \]
Такім чынам, атрыманы вектар R мае даўжыню каля 7.81 адзінкі, а яго напрамкі адносна восяў x, y і z складаюць 59.50°, 39.50° і 67.64°.
Пытанне 3
Дадзены два вектары:
– P мае велічыню 4 адзінкі і ўтварае вугал 45° да дадатнай восі x.
– Q мае велічыню 6 адзінак і ўтварае вугал 120° да дадатнай восі x.
Вызначце выніковы вектар R.
Абмеркаванне
Спачатку мы разбіваем вектар на яго кампаненты x і y:
– Вектар P: (P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \прыблізна 2.83\), (P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \прыблізна 2.83\).
– Вектар Q: (Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), (Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \прыблізна 5.2\).
Вось сума кампанентаў:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Тады атрыманы вектар R мае выгляд:
\[R = (-0.17, 8.03) \]
Каб вылічыць даўжыню (модуль) вектара R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \прыблізна 8.03 \]
Кірунак вектара R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctg(-47.24) \прыблізна -88.99^\circ \]
Аднак гэты вугал вымяраецца адносна адмоўнай восі x, таму фактычны вугал у кантэксце задачы роўны:
\[ 180^\круг – 88.99^\круг \прыблізна 91.01^\круг \]
Такім чынам, атрыманы вектар R мае даўжыню каля 8.03 адзінак і ўтварае вугал 91.01° з дадатнай воссю x.
У гэтым артыкуле абмяркоўваецца пакампанентнае складанне вектараў, прыводзячы некалькі прыкладаў задач і рашэнняў. Пакампанентны метад вельмі карысны для спрашчэння разлікаў і забеспячэння сістэматычнага спосабу рашэння вектарных задач у матэматычнай вымярэнні прасторы.
