Прыклад пытання па абмеркаванні складання двух вектараў з выкарыстаннем метаду паралелаграма
Складанне вектараў — гэта важная канцэпцыя ў фізіцы і матэматыцы, якая часта выкарыстоўваецца для апісання прыродных з'яў і праблем паўсядзённага жыцця. Існуе некалькі метадаў складання двух вектараў, адзін з якіх — метад паралелаграма. Гэты метад не толькі інтуітыўна зразумелы, але і забяспечвае магутную візуалізацыю таго, як два вектары аб'ядноўваюцца, утвараючы выніковы вектар. У гэтым артыкуле мы разгледзім некалькі прыкладаў складання вектараў з выкарыстаннем метаду паралелаграма, а таксама іх рашэнні.
Што такое вектар?
Перш чым перайсці да прыкладаў задач, нам трэба зразумець асноўнае азначэнне вектара. Вектар — гэта велічыня, якая мае як велічыню (даўжыню), так і кірунак. Класічнымі прыкладамі вектараў з'яўляюцца хуткасць, паскарэнне, сіла і перамяшчэнне. Вектар можна прадставіць як яго кампаненты (i, j, k) у дэкартавых каардынатах або як яго даўжыню і кірунак (вугал).
Метад паралелаграма
Метад паралелаграма — адзін са спосабаў складання двух вектараў. У гэтым метадзе мы прадстаўляем два вектары як дзве стараны паралелаграма. Выніковы вектар — гэта дыяганаль паралелаграма, якая пачынаецца з пачатковай кропкі двух вектараў. Матэматычна, калі ў нас ёсць два вектары \(\vec{A}\) і \(\vec{B}\), выніковы вектар роўны \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
Пакрокавая інструкцыя па выкарыстанні метаду паралелаграма выглядае наступным чынам:
1. Намалюйце вектар \(\vec{A}\) з пачатковай кропкі.
2. З канца вектара \(\vec{A}\) намалюйце вектар \(\vec{B}\).
3. Правядзіце прамую, паралельную вектару \(\vec{B}\), з пачатковай кропкі \(\vec{A}\).
4. Правядзіце прамую, паралельную вектару \(\vec{A}\), ад канца вектара \(\vec{B}\).
5. Правядзіце дыяганаль ад пачатковай кропкі да процілеглага кута, каб атрымаць выніковы вектар \(\vec{R}\).
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1
Дапусцім, у нас ёсць два вектары \(\vec{A}\) і \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) мае даўжыню (велічыню) 5 адзінак і кірунак 0° (або ўздоўж дадатнай восі x),
– \(\vec{B}\) мае даўжыню 3 адзінкі і кірунак 90° (або ўздоўж дадатнай восі y).
Якое значэнне атрымаецца пры складанні гэтых двух вектараў з выкарыстаннем метаду паралелаграма?
Абмеркаванне:
1. Намалюйце вектар \(\vec{A}\) уздоўж дадатнай восі x даўжынёй 5 адзінак.
2. З канца вектара \(\vec{A}\) правядзіце вектар \(\vec{B}\) уздоўж дадатнай восі y даўжынёй 3 адзінкі.
3. З пачатковай кропкі \(\vec{A}\) правядзіце лінію, паралельную \(\vec{B}\).
4. З канца \(\vec{B}\) правядзіце лінію, паралельную \(\vec{A}\).
5. У выніку атрымліваецца паралелаграм з дыяганаллю, якая з'яўляецца выніковым вектарам \(\vec{R}\).
Паколькі \(\vec{A}\) і \(\vec{B}\) перпендыкулярныя адзін аднаму, мы можам выкарыстаць тэарэму Піфагора для вылічэння даўжыні атрыманага вектара:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \прыблізна 5.83 \]
Кірунак рэзультуючага вектара можна вылічыць з дапамогай трыганаметрыі. Калі \(\theta\) — гэта вугал паміж рэзультуючым і \(\vec{A}\):
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
такім чынам:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \прыблізна 30.96^\circ \]
Такім чынам, атрыманы вектар \(\vec{R}\) мае велічыню каля 5.83 адзінак і кірунак каля 30.96° ад \(\vec{A}\).
Пытанне 2
Два вектары \(\vec{C}\) і \(\vec{D}\) зададзены наступным чынам:
– \(\vec{C}\) з даўжынёй 4 адзінкі і кірункам 45°.
– \(\vec{D}\) з даўжынёй 6 адзінак і кірункам 120°.
Вызначце атрыманы вектар (R) шляхам складання двух вектараў.
Абмеркаванне:
Каб скласці два вектары, якія не перпендыкулярныя адзін аднаму або маюць розную форму, можна выкарыстоўваць дэкартавыя кампаненты.
1. Разбіце \(\vec{C}\) і \(\vec{D}\) на кампаненты x і y.
Для \(\vec{C}\):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \прыблізна 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \прыблізна 2.83 \]
Для \(\vec{D}\):
\[D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \прыблізна 5.20 \]
2. Складзіце кампаненты x і y абодвух вектараў:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Вылічыце велічыню і кірунак выніковага вектара \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \прыблізна 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \прыблізна \tan^{-1}(-47.24) \]
Паколькі вынік адмоўны, дадаем 180°, каб атрымаць вугал у правільнай сістэме квадрантаў:
\[ \theta \прыблізна \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \прыблізна 271.93^\circ \]
Такім чынам, атрыманы вектар (R) мае велічыню каля 8.03 адзінак і кірунак каля 271.93°, або, можна сказаць, каля 91.93° ад адмоўнай восі x у чацвёртым квадранце.
Закрыццё
Метад паралелаграма — гэта эфектыўны і наглядны спосаб складання двух вектараў. Хоць гэты метад можа здацца простым для простых вектараў, важна разумець, што для больш складаных вектараў нам часта трэба выкарыстоўваць дэкартавыя кампаненты і больш складаныя алгебраічныя метады для атрымання дакладных вынікаў. Спадзяюся, прыведзеныя вышэй прыклады даюць яснае ўяўленне аб тым, як гэты метад можна прымяніць у розных сітуацыях.
