Прыклады пытанняў і абмеркаванне аднімання вектараў
Пендахулуан
У матэматыцы і фізіцы вектары — гэта фундаментальнае паняцце, якое выкарыстоўваецца для тлумачэння многіх прыродных і інжынерных з'яў. Вектар — гэта велічыня, якая мае як велічыню, так і кірунак. Некаторымі важнымі прыкладамі вектараў з'яўляюцца перамяшчэнне, хуткасць, паскарэнне і сіла. У гэтым артыкуле мы абмяркуем адніманне вектараў, хоць гэтая тэма часта падкрэсліваецца ў кантэксце камбінацыі вектараў.
Адніманне вектараў — гэта фундаментальная аперацыя, якая мае вырашальнае значэнне ў вектарным аналізе. Каб глыбей паглыбіцца ў гэтую канцэпцыю, давайце разгледзім некаторыя прыклады задач і дыскусіі, звязаныя з адніманнем вектараў.
Адніманне вектараў
Адніманне вектараў {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} вызначаецца як аперацыя складання вектара {\displaystyle \mathbf{A}} з вектарам {\displaystyle \mathbf{B}}, дзе {\displaystyle -\mathbf{B}} — гэта вектар з такой жа велічынёй, як {\displaystyle \mathbf{B}}, але з процілеглым кірункам. Матэматычна гэта можна запісаць наступным чынам:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1: Адніманне двухмерных вектараў
Выкажам здагадку, што ў дэкартавых каардынатах ёсць два вектары:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} і {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Вылічыце {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Абмеркаванне:
Першы крок — знайсці адмоўны вектар {\displaystyle \mathbf{B}}, а менавіта:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Далей, дадайце вектар {\displaystyle \mathbf{A}} з {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Выканайце складанне вектараў, дадаючы кожны кампанент x і y:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Такім чынам, вынікам аднімання вектараў {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} з'яўляецца вектар (3, 1).
Пытанне 2: Адніманне трохмерных вектараў
Дадзены два вектары ў трохмерных каардынатах:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} і {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Вылічыце {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
Абмеркаванне:
Першы крок — знайсці адмоўны вектар {\displaystyle \mathbf{Q}}:
Q = (3, -5, -7)
Далей, дадайце вектар {\displaystyle \mathbf{P}} з {\displaystyle -\mathbf{Q}}:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Выканайце складанне вектараў, дадаючы кожны кампанент x, y і z:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Такім чынам, вынікам аднімання вектараў {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} з'яўляецца вектар (5, -9, -1).
Пытанне 3: Адніманне вектараў у комплекснай плоскасці
Выкажам здагадку, што ёсць два вектары, прадстаўленыя комплекснымі лікамі:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} і {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Вылічыце {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Абмеркаванне:
Першы крок — знайсці адмоўны вектар {\displaystyle \mathbf{N}}:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Далей, дадайце вектар {\displaystyle \mathbf{M}} з {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Выканайце складанне вектараў, дадаўшы кожную рэальную і ўяўную кампаненты:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Такім чынам, вынікам аднімання вектараў {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} з'яўляецца комплексны лік 2 + 2i.
Пытанне 4: Адніманне вектараў у палярнай сістэме каардынат
Выкажам здагадку, што ў палярных каардынатах ёсць два вектары:
мае зорную велічыню 5 і вугал 30°,
а велічыня \mathbf{V}} роўная 3, а вугал — 150°.
Вылічыце {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.
Абмеркаванне:
Першы крок — пераўтварыць вектары {\displaystyle \mathbf{U}} і {\displaystyle \mathbf{V}} у дэкартавыя каардынаты.
Для {\displaystyle \mathbf{U}}:
U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Такім чынам, у дэкартавай сістэме размеркавання вызначэнне {\displaystyle \mathbf{U}} роўна (4.33, 2.5).
Для {\displaystyle \mathbf{V}}:
V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Такім чынам, у дэкартавай сістэме злучэнняў значэнне (-2.598, 1.5) роўнае (-2,598, 1,5).
Наступны крок, вылічыце адніманне вектараў у дэкартавай сістэме суадносін:
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Гэта азначае, што шляхам дадання адмоўнага значэння вектара:
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Такім чынам, вынік аднімання вектара {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} у дэкартавых каардынатах складае (6.928, 1).
Выснова
Адніманне вектараў — важная матэматычная аперацыя ў многіх галінах, якія выкарыстоўваюць вектарны аналіз. Незалежна ад таго, ці гэта двухмерная, трохмерная, комплексная ці палярная сістэма каардынат, асноўны прынцып застаецца нязменным: складанне аднаго вектара з адмоўным лікам іншага. Прыведзеныя вышэй прыклады ілюструюць розныя спосабы прымянення гэтай аперацыі ў розных кантэкстах, дапамагаючы нам глыбей і практычна зразумець гэту канцэпцыю.
