Прыклады пытанняў і абмеркаванне экспанентнага спаду
Экспанентнае затуханне — гэта натуральная з'ява, якая сустракаецца ў розных дысцыплінах, такіх як фізіка, хімія, біялогія і эканоміка. Як матэматычная мадэль, экспанентнае затуханне апісвае працэс, пры якім дадзеная велічыня памяншаецца прапарцыйна яе бягучай велічыні. У матэматыцы экспанентнае затуханне мае агульную форму:
\[N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Дзе:
– \(N(t) \) — колькасць, якая засталася ў момант часу \(t \),
– \( N_0 \) — пачатковы лік,
– \( \lambda \) — пастаянная распаду (часта званая хуткасцю распаду),
– \(t \) — час,
– \(e \) — аснова натуральнага лагарыфма (каля 2.718).
У гэтым артыкуле мы абмяркуем некаторыя прыклады задач экспанентнага распаду разам з іх рашэннямі, каб дапамагчы глыбей зразумець гэтую канцэпцыю.
Прыклад пытання 1: Радыеактыўны распад
Пытанне:
Радыеактыўнае рэчыва мае перыяд паўраспаду 5 гадоў. Калі першапачаткова было 100 грамаў гэтага рэчыва, колькі яго застанецца праз 15 гадоў?
Абмеркаванне:
Радыеактыўны распад можна мадэляваць з дапамогай формулы экспанентнага распаду. Перыяд паўраспаду (\( t_{1/2} \)) — гэта час, неабходны для распаду паловы колькасці радыеактыўнага матэрыялу. Вядома, што \( t_{1/2} = 5 \) гадоў.
Спачатку нам трэба знайсці пастаянную распаду \( \lambda \) па формуле:
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0.1386 \text{год}^{-1} \]
Такім чынам, формула экспанентнага распаду мае выгляд:
\[N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[N(t) = 100 e^{-0.1386 \times 15} \]
Цяпер вылічваем значэнне:
\[N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[N(t) = 100 \times 0.125 \]
\[ N(t) \прыблізна 12.5 \text{ грамаў} \]
Такім чынам, праз 15 гадоў засталося каля 12.5 грамаў радыеактыўнага матэрыялу.
Прыклад 2: Знішчэнне кандэнсатара
Пытанне:
Кандэнсатар з пачатковым зарадам (Q_0 = 200 °C) разраджаецца ў ланцугу. Пастаянная часу роўная (τ = 4 °s). Колькі зарада застаецца праз 10 секунд?
Абмеркаванне:
У выпадку спаду зарада кандэнсатара выкарыстоўваецца экспанентная мадэль:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
Дадзена \(Q_0 = 200 \text{C} \) і \( \tau = 4 \text{s} \). Нам трэба знайсці \(Q(10) \):
\[Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
Вылічэнне экспанентных значэнняў:
\[Q(10) = 200 \times 0.0821 \]
\[ Q(10) \прыблізна 16.42 \text{ C} \]
Такім чынам, праз 10 секунд зарад на кандэнсатары складае каля 16.42 Кл.
Прыклад пытання 3: Хімічны распад
Пытанне:
Каэфіцыент распаду хімічнага рэчыва складае \( \lambda = 0.05 \text{ дзён}^{-1} \). Колькі часу спатрэбіцца, каб колькасць хімічнага рэчыва зменшылася да 25% ад яго першапачатковай колькасці?
Абмеркаванне:
Пачнем з агульнай формулы для экспанентнага спаду:
\[N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Мы хочам, каб N(t) складала 25% ад \(N_0 \), каб:
\[0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
Выключэнне \( N_0 \) з абодвух бакоў:
\[0.25 = e^{-0.05 t} \]
Выкарыстанне натуральных лагарыфмаў для рашэння экспаненцыяльных выпадкаў:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
Рашэнне для \(t \):
\[t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ прыблізна 27 726 дзён ]
Такім чынам, час, неабходны для таго, каб хімічнае рэчыва паменшылася да 25% ад сваёй першапачатковай колькасці, складае прыблізна 27 726 дзён.
Прыклад пытання 4: Зніжэнне папуляцыі бактэрый
Пытанне:
Папуляцыя бактэрый памяншаецца ў геаметрычнай прагрэсіі, так што праз 3 гадзіны яе колькасць удвая меншая за пачатковую. Калі пачатковая папуляцыя складала 8000 бактэрый, колькі бактэрый засталося праз 9 гадзін?
Абмеркаванне:
Вядома, што перыяд паўраспаду (t1/2) = 3 гадзіны. Спачатку знойдзем пастаянную распаду (λ):
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231 \text{ гадзіна}^{-1} \]
Пасля гэтага мы выкарыстоўваем формулу экспанентнага спаду:
\[N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[N(9) = 8000 e^{-0.231 \times 9} \]
Вылічэнне экспанентных значэнняў:
\[N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[N(9) = 8000 \раз 0.125 \]
\[ N(9) \прыблізна 1000 \]
Такім чынам, праз 9 гадзін застанецца каля 1000 бактэрый.
Выснова
Мадэль экспанентнага распаду забяспечвае эфектыўны падыход да вырашэння праблем, звязаных з працэсамі распаду, у розных навуковых і інжынерных прыкладаннях. Разумеючы асноўныя паняцці, такія як канстанты распаду, перыяды паўраспаду і выкарыстанне экспанентных формул, мы можам адносна лёгка вылічыць змяненне велічыні з цягам часу. Практычныя задачы, абмеркаваныя вышэй, павінны дапамагчы нам зразумець і прымяніць канцэпцыю экспанентнага распаду да больш складаных сітуацый.
