Прыклады пытанняў па абмеркаванні чаканага значэння бінамінальнага размеркавання
Бінамінальнае размеркаванне — гэта дыскрэтнае размеркаванне, якое часта выкарыстоўваецца ў статыстыцы для апісання верагоднасці зададзенай колькасці поспехаў у шэрагу незалежна праведзеных выпрабаванняў. Гэта размеркаванне вельмі карысна ў розных галінах, такіх як эканоміка, біялогія і сацыяльныя навукі. Адной з важных канцэпцый бінамінальнага размеркавання для разумення з'яўляецца чаканая велічыня. У гэтым артыкуле будзе абмеркавана канцэпцыя чаканай велічыні ў бінамінальным размеркаванні на некалькіх прыкладах задач і іх абмеркаванні.
Вызначэнне бінамінальнага размеркавання
Бінамінальнае размеркаванне апісвае колькасць поспехаў у \(n \) спробах, якія маюць два магчымыя зыходы: поспех або няўдача. Гэта размеркаванне характарызуецца двума асноўнымі параметрамі:
– \(n \): колькасць спроб
– \(p \): верагоднасць поспеху ў адной спробе
Гэтае размеркаванне часта пазначаецца як B(n, p). Функцыя масы імавернасці (ФМІ) бінамінальнага размеркавання мае выгляд:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
дзе \( \binom{n}{k} \) — бінаміяльны каэфіцыент, які разлічваецца як:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Чаканае значэнне ў бінамінальным размеркаванні
Чаканае значэнне бінамінальнага размеркавання — гэта сярэдняя колькасць поспехаў у \(n \) спробах і фармулюецца як:
\[ E(X) = n \раз p \]
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Прыклад пытання 1
Пытанне:
Дапусцім, даследчык праводзіць эксперымент, высаджваючы 10 расады, кожная з якіх мае верагоднасць росту 0.7. Якая чаканая колькасць расады, якая вырасце?
Абмеркаванне:
Вядома:
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.7 \)
Чаканае значэнне, \(E(X) \), разлічваецца наступным чынам:
\[ E(X) = n \раз p \]
\[ E(X) = 10 \ памножана на 0.7 \]
\[ E(X) = 7 \]
Такім чынам, чаканая колькасць насення, якое вырасце, роўная 7 насення.
Прыклад пытання 2
Пытанне:
На экзамене верагоднасць таго, што студэнт правільна адкажа на ўсе пытанні, роўная 0.8. Калі на экзамене 15 пытанняў, якая чаканая колькасць правільных адказаў?
Абмеркаванне:
Вядома:
– \(n = 15 \)
– \(p = 0.8 \)
Чаканае значэнне, \(E(X) \), разлічваецца наступным чынам:
\[ E(X) = n \раз p \]
\[ E(X) = 15 \ памножана на 0.8 \]
\[ E(X) = 12 \]
Такім чынам, чаканае значэнне колькасці правільных адказаў складае 12 пытанняў.
Прыклад пытання 3
Пытанне:
Друкарня вырабляе лісты паперы з верагоднасцю дэфектаў 0.02. За адзін працоўны дзень фабрыка вырабляе 500 лістоў паперы. Якая чаканая колькасць дэфектных лістоў паперы за адзін дзень?
Абмеркаванне:
Вядома:
– \(n = 500 \)
– \(p = 0.02 \)
Чаканае значэнне, \(E(X) \), разлічваецца наступным чынам:
\[ E(X) = n \раз p \]
\[ E(X) = 500 \ памножана на 0.02 \]
\[ E(X) = 10 \]
Такім чынам, чаканае значэнне колькасці дэфектных аркушаў паперы за адзін дзень складае 10 аркушаў.
Пашырэнне паняццяў у разуменні
1. Дысперсія і стандартнае адхіленне:
Акрамя чаканага значэння, важна таксама разумець дысперсію і стандартнае адхіленне ў бінамінальным размеркаванні. Дысперсія бінамінальнага размеркавання фармулюецца як:
\[ \text{Var}(X) = n \times p \times (1 – p) \]
Стандартнае адхіленне — гэта квадратны корань з дысперсіі:
\[ \text{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]
2. Прымяненне на экзаменах па статыстыцы:
На акадэмічных экзаменах або тэстах чаканыя балы могуць быць выкарыстаны для вымярэння чаканага сярэдняга бала студэнта або групы студэнтаў, што дапамагае ў аналізе адукацыйных праграм і ацэнцы эфектыўнасці выкладання.
3. Тэматычныя даследаванні ў эпідэміялогіі:
Напрыклад, у даследаванні перадачы хваробы верагоднасць выздараўлення пацыента можна мадэляваць з дапамогай бінамінальнага размеркавання. Веданне чаканага значэння дазваляе медыцынскім работнікам планаваць неабходныя медыцынскія рэсурсы на аснове прагназаванай колькасці пацыентаў, якія выздаравелі.
Выснова
Бінамінальнае размеркаванне — важны інструмент у статыстыцы, які дапамагае апісаць верагоднасць поспеху ў серыі выпрабаванняў. Чаканае значэнне ў бінамінальным размеркаванні — ключавое паняцце, якое апісвае сярэднюю колькасць чаканых поспехаў. На прыведзеных прыкладах мы можам убачыць, як чаканае значэнне разлічваецца і ўжываецца ў розных кантэкстах. Добрае разуменне гэтай канцэпцыі дазваляе даследчыкам і практыкам складаць лепшыя планы і прымаць больш абгрунтаваныя рашэнні на аснове імавернасных дадзеных.
Бінамінальнае размеркаванне важна не толькі ў тэорыі імавернасцей і статыстыцы, але і вельмі актуальнае ў розных практычных ужываннях. Такім чынам, вывучэнне гэтага размеркавання і канцэпцыі чаканага значэння забяспечвае трывалую аснову для аналізу дадзеных і прыняцця рашэнняў.
