Прыклады пытанняў па абмеркаванні кампазіцыі пераўтварэнняў з выкарыстаннем матрыц
Геаметрычныя пераўтварэнні — важная тэма ў матэматыцы, асабліва ў геаметрыі і лінейнай алгебры. Гэтыя пераўтварэнні могуць уключаць зрушэнні, павароты, адлюстраванні і пашырэнні. У гэтым артыкуле мы разгледзім, як кампазіцыю розных пераўтварэнняў можна прадставіць і вырашыць з дапамогай матрыц. Мы таксама прывядзем прыклады задач і рашэнняў.
1. Уводзіны ў пераўтварэнне з дапамогай матрыц
Геаметрычныя пераўтварэнні можна прадставіць матрыцамі. Напрыклад, пераўтварэнні павароту, зрушэння, адлюстравання і дылатацыі можна сфармуляваць у матрычнай форме наступным чынам:
1. Пераклад
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Кручэнне
\[
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\]
3. Адлюстраванне вакол восі X
\[
\text{Адлюстраванне X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Пашырэнне (павелічэнне/маштабаванне)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Кампазіцыя пераўтварэнняў з матрыцамі
Кампазіцыя пераўтварэнняў — гэта паслядоўнае прымяненне двух або больш пераўтварэнняў да аб'екта. Каб вылічыць кампазіцыю пераўтварэнняў з дапамогай матрыц, мы проста памнажаем матрыцы, якія прадстаўляюць пераўтварэнні.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Соль
Дадзены пункт P(2, 3). Знайдзіце вынік наступнага пераўтварэння:
1. Паварот \(90^\circ\) па гадзіннікавай стрэлцы (CW)
2. Дылатацыя з маштабным каэфіцыентам 2
3. Пераклад (1, -2)
Абмеркаванне
1. Паварот \(90^\circ\) па гадзіннікавай стрэлцы
Матрыца для павароту па гадзіннікавай стрэлцы на \(90^\circ\):
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
Ужыванне пераўтварэння павароту ў пункце P:
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Пункт P пасля пераўтварэння павароту — гэта P'(3, -2).
2. Дылатацыя з маштабным каэфіцыентам 2
Матрыца для дылатацыі з маштабным каэфіцыентам 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
Ужыванне дылатацыйнага пераўтварэння ў пункце P'(3, -2):
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Пункт P' пасля дылатацыйнага пераўтварэння — гэта P”(6, -4).
3. Пераклад (1, -2)
Ніжэй прыведзены аперацыі перакладу:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
Ужыванне трансфармацыі зрушэння ў пункце P”(6, -4):
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
Такім чынам, канчатковая кропка пасля ўжывання ўсіх пераўтварэнняў — P(7, -6).
3. Разлік складу пераўтварэнняў
Дадатковыя пытанні
Дадзены пункт Q(1, 2) і наступнае пераўтварэнне:
1. Адлюстраванне адносна восі X.
2. Паварот \(180^\circ\) па гадзіннікавай стрэлцы (CW).
Абмеркаванне
1. Адлюстраванне адносна восі X
Матрыца адлюстравання адносна восі X:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Ужыванне пераўтварэння адлюстравання ў пункце Q:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Пункт Q пасля пераўтварэння адлюстравання — гэта Q'(1, -2).
2. Паварот \(180^\circ\) па гадзіннікавай стрэлцы
Матрыца для павароту \(180^\circ\) па гадзіннікавай стрэлцы:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Ужыванне пераўтварэння павароту \(180^\circ\) да пункта Q'(1, -2):
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Такім чынам, канчатковая кропка пасля ўжывання ўсіх пераўтварэнняў — Q(-1, 2).
Закрыццё
Метад кампазіцыі пераўтварэнняў з выкарыстаннем матрыц вельмі карысны для спрашчэння і сістэматычнага разліку геаметрычных пераўтварэнняў. Выконваючы вышэйапісаныя крокі, мы можам лёгка зразумець і прымяніць розныя тыпы пераўтварэнняў да адной кропкі або іншага геаметрычнага аб'екта. Навучанне выкарыстанню матрыц у пераўтварэннях таксама палягчае іх прымяненне ў розных галінах, такіх як фізіка, камп'ютэрная графіка і іншыя.
