Прыклады пытанняў па абмеркаванні становішча кропкі адносна акружнасці
Вызначэнне становішча кропкі адносна акружнасці — важная тэма ў базавай геаметрыі, асабліва пры вывучэнні акружнасцей. У гэтым артыкуле мы абмяркуем некалькі прыкладаў задач, звязаных з становішчам кропкі адносна акружнасці, а таксама іх тлумачэнні. Гэта дапаможа растлумачыць канцэпцыю праз практычнае прымяненне.
Пендахулуан
Перш чым паглыбіцца ў прыклады пытанняў, давайце ўспомнім тры магчымыя пазіцыі кропкі на акружнасці:
1. Унутры круга: Калі адлегласць ад кропкі да цэнтра круга меншая за радыус круга.
2. Па-за акружнасцю: Калі адлегласць ад кропкі да цэнтра акружнасці большая за радыус акружнасці.
3. На акружнасці: Калі адлегласць ад кропкі да цэнтра акружнасці такая ж, як радыус акружнасці.
Матэматычна, становішча кропкі \(T(x_1, y_1)\) адносна акружнасці з цэнтрам у \((a, b)\) і радыусам \(r\) можна вызначыць, параўнаўшы \(T(x_1, y_1)\) з ураўненнем акружнасці, а менавіта:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Калі вынік падстаноўкі \(x_1\) і \(y_1\) у раўнанне дае значэнне:
– Меншы за \(r^2\), кропка знаходзіцца ўнутры круга.
– Больш за \(r^2\), кропка знаходзіцца па-за акружнасцю.
– Гэтак жа, як і ў \(r^2\), кропка знаходзіцца на акружнасці.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1
Вызначце становішча пункта \(T(3, 4)\) адносна акружнасці з дапамогай ураўнення \((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \).
Абмеркаванне:
Першы крок — вылічыць ураўненне акружнасці і знайсці адлегласць ад пункта \(T(3, 4)\) да цэнтра акружнасці \((1, 2)\).
1. Вызначце цэнтр і радыус акружнасці:
Ураўненне акружнасці: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Цэнтр акружнасці (\(a, b\)): (1, 2)
– Радыус акружнасці (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. Вылічыце адлегласць паміж пунктам \(T(3, 4)\) і цэнтрам акружнасці \((1, 2)\):
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
Значэнне (2\sqrt{2} \прыблізна 2 \times 1.414 = 2.828 \) (менш за \(5\)).
3. Выснова:
Паколькі \(2\sqrt{2} < 5 \), то кропка \(T(3, 4) \) знаходзіцца ўнутры акружнасці. Пытанне 2. Акружнасць мае цэнтр у кропцы \((0, 0) \) і радыус 7. Вызначце становішча кропкі \(P(5, 6) \) адносна акружнасці.
Пытанне 3
Вызначце становішча пункта (M(2, -1)) адносна акружнасці з дапамогай ураўнення (x^2 + y^2 = 5).
Абмеркаванне:
1. Вылічыце адлегласць ад пункта \(M(2, -1)\) да цэнтра акружнасці \((0, 0)) :
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. Параўнайце адлегласць \(D\) з радыусам акружнасці:
Радыус акружнасці (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. Выснова:
Паколькі \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), то пункт \( M(2, -1) \) знаходзіцца на акружнасці.
Пытанне 4
Акружнасць з цэнтрам у пункце (4, 3) мае радыус (10). Пакажыце становішча пункта (N(7, 7)) адносна гэтай акружнасці.
Абмеркаванне:
1. Ураўненне круга:
Ураўненне акружнасці з цэнтрам (4, 3) і радыусам (10):
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. Вылічыце адлегласць ад пункта \(N(7, 7) \) да цэнтра акружнасці \((4, 3) \):
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Выснова:
Паколькі 5 > 10, то пункт N(7, 7) знаходзіцца па-за акружнасцю.
Закрыццё
Разумеючы, як вылічыць адлегласць кропкі ад цэнтра акружнасці і параўнаць яе з радыусам, мы можам лёгка вызначыць становішча кропкі адносна акружнасці. Абмеркаванне ў гэтым артыкуле павінна даць дакладнае разуменне канцэпцыі і таго, як вырашаць задачы, звязаныя з становішчам кропкі адносна акружнасці.
На практыцы веданне становішча гэтых кропак надзвычай карысна ў розных матэматычных прыкладаннях, у тым ліку ў геаметрычным аналізе, графічным дызайне і інжынерыі. Таму засваенне гэтай канцэпцыі з'яўляецца важнай асновай, якая заслугоўвае ўважлівай увагі і глыбокага разумення.
