Прыклады пытанняў па абмеркаванні квантавых з'яў
Квантавыя з'явы, або з'явы, якія рэгулююцца квантавай механікай, ахопліваюць шырокі спектр паняццяў і прынцыпаў, якія патрабуюць глыбокага разумення і матэматычнай складанасці. Квантавая механіка — гэта раздзел фізікі, які апісвае паводзіны субатамных часціц, такіх як электроны і фатоны, якія немагчыма растлумачыць класічнай фізікай. У гэтым артыкуле мы разгледзім некалькі прыкладаў задач і іх рашэнняў, звязаных з квантавымі з'явамі, каб дапамагчы зразумець асноўныя прынцыпы квантавай механікі.
Прыклад пытання 1: Прынцып нявызначанасці Гейзенберга
Пытанне:
Вядома, што становішча электрона ў атаме вымяраецца з дакладнасцю \( \Delta x = 0.1 \text{ нм} \). Вызначце мінімальную нявызначанасць вымярэння імпульсу электрона (\( \Delta p \)), выкарыстоўваючы прынцып нявызначанасці Гейзенберга.
Адказ:
Прынцып нявызначанасці Гейзенберга абвяшчае:
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
дзе \( \hbar \) — гэта прыведзеная пастаянная Планка са значэннем \( \hbar \прыблізна 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} \).
Падстаўляем \( \Delta x = 0.1 \text{ нм} = 0.1 \times 10^{-9} \text{ м} \):
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 0.1 \times 10^{-9}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} = 5.27 \times 10^{-25} \text{ кг м/с} \]
Такім чынам, мінімальная хібнасць вымярэння імпульсу электрона складае \(5.27 \times 10^{-25} \text{ кг м/с} \).
Прыклад пытання 2: Патэнцыяльная энергія ў скрынцы (часціца ў скрынцы)
Пытанне:
Часціца з масай m знаходзіцца ў аднамернай скрынцы даўжынёй L. Якая фундаментальная энергія (энергія асноўнага стану) часціцы?
Адказ:
Фундаментальная энергія (энергія асноўнага стану) часціцы ў аднамернай скрынцы задаецца ўраўненнем:
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]
Для асноўнага стану (\(n=1 \)):
\[ E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} \]
дзе h — пастаянная Планка (h прыблізна 6.626 × 10⁻⁴ Js).
Дапусцім, m = 9.109 × 10⁻¹ кг (маса электрона) і L = 1 × 10⁻¹ м):
\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (1 \times 10^{-9})^2} \]
\[ E_1 = \frac{4.39 \times 10^{-67}}{7.287 \times 10^{-50}} \]
\[ E_1 = 6.02 \times 10^{-18} \text{ J} \]
Такім чынам, фундаментальная энергія часціцы роўная \(6.02 \times 10^{-18} \text{ Дж} \).
Прыклад 3: Аперацыі аператара Гамільтана на хвалевых функцыях
Пытанне:
Хвалевая функцыя часціцы ў аднамернай скрынцы мае выгляд \( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \) для \(n=1,2,3,\ldots \). Вызначце энергію часціцы, выкарыстоўваючы аператар Гамільтана \( \hat{H} \).
Адказ:
Гамільтанаў аператар у адным вымярэнні мае выгляд:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]
Нам трэба ўжыць аператар Гамільтана да хвалевай функцыі ( \psi(x) \):
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
Першая вытворная ад \( \psi(x) \):
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pix}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( \frac{n\pi}{L} \cos\left( \frac{n\pix}{L} \right) \right) \]
Другая вытворная:
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left(-\left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Цяпер падставім вынік назад у аператар Гамільтана:
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2м L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Адсюль мы бачым, што:
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2м L^2} \psi(x) \]
Такім чынам, энергія часціцы роўная:
\[E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Дапусцім, мы хочам знайсці энергію для \(n=1 \):
\[ E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \]
Выснова
Рашэнне задач, звязаных з квантавымі з'явамі, патрабуе глыбокага разумення фундаментальных прынцыпаў квантавай механікі, такіх як прынцып нявызначанасці Гейзенберга і энергія часціц у патэнцыяльным полі. З дапамогай некалькіх прыкладаў задач і іх абмеркаванняў мы спадзяемся дапамагчы ўмацаваць асноўныя паняцці квантавай механікі і яе прымянення ў розных фізічных сітуацыях. Нягледзячы на тое, што квантавая механіка можа здацца складанай, практычныя задачы і разуменне канцэптуальных аспектаў значна дапамогуць у засваенні гэтага фундаментальнага матэрыялу.
