Прыклады пытанняў па абмеркаванні квадратычных функцый
Квадратныя функцыі — важная тэма, якая абмяркоўваецца ў матэматыцы, асабліва ў сярэдняй школе. Гэтая функцыя мае агульны выгляд (f(x) = ax^2 + bx + c), дзе (a), (b) і (c) — канстанты, дзе (a ≥ 0). У гэтым артыкуле будуць разгледжаны некалькі прыкладаў задач, звязаных з квадратычнымі функцыямі, а таксама падрабязныя тлумачэнні, якія дапамогуць студэнтам лепш зразумець гэтую канцэпцыю.
1. Вызначэнне каранёў квадратычнай функцыі
Пытанне 1: Знайдзіце карані наступнай квадратычнай функцыі:
\[f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \]
Абмеркаванне:
Каб знайсці карані квадратычнай функцыі, можна скарыстацца формулай квадратнага ўраўнення, а менавіта:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
У квадратычнай функцыі (f(x) = 2x^2 – 3x – 5) мы можам вызначыць значэнні (a), (b) і (c):
– \(a = 2 \)
– \(b = -3 \)
– \(c = -5 \)
Крокі наступныя:
1. Знайдзіце дыскрымінант (\( \Delta \)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Дэльта = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ \Дэльта = 9 + 40 \]
\[ \Дэльта = 49 \]
2. Выкарыстайце формулу квадратнага ўраўнення, каб знайсці карані:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]
Такім чынам, мы атрымліваем два рашэнні:
\[x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Такім чынам, карані функцыі — гэта \(x = 2.5 \) і \(x = -1 \).
2. Вызначэнне вяршынь квадратычнай функцыі
Пытанне 2: Вызначце вяршыню наступнай квадратычнай функцыі:
\[g(x) = -x^2 + 4x – 3 \]
Абмеркаванне:
Вяршыню квадратычнай функцыі можна вызначыць па формуле:
\[ x_{\text{вяршыня}} = \frac{-b}{2a} \]
У квадратычнай функцыі (g(x) = -x^2 + 4x – 3) мы можам вызначыць значэнні (a), (b) і (c):
– \(a = -1 \)
– \(b = 4 \)
– \(c = -3 \)
Крокі наступныя:
1. Знайдзіце значэнне \(x \) вяршыні:
\[ x_{\text{вяршыня}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{вяршыня}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\text{вяршыня}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\text{вяршыня}} = 2 \]
2. Знайдзіце значэнне \(y \), падставіўшы \(x_{\text{vertex}} \) у функцыю:
\[y_{\text{вяршыня}} = g(2) \]
\[y_{\text{вяршыня}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[y_{\text{вяршыня}} = -4 + 8 – 3 \]
\[y_{\text{вяршыня}} = 1 \]
Такім чынам, вяршыня функцыі — (2, 1)).
3. Пабудова графіка квадратычнай функцыі
Пытанне 3: Намалюйце графік наступнай квадратычнай функцыі:
\[ h(x) = x^2 – 2x – 3 \]
Абмеркаванне:
Перш чым маляваць графік квадратычнай функцыі, нам трэба ведаць некалькі важных момантаў, такіх як карані, вяршыня і кірунак парабалы.
Вызначэнне каранёў
Мы можам выкарыстаць формулу квадратнага ўраўнення, каб знайсці карані ўраўнення (h(x) = x^2 – 2x – 3):
\[ a = 1 \]
\[b = -2 \]
\[ c = -3 \]
1. Вылічыце дыскрымінант:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Дэльта = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ \Дэльта = 4 + 12 \]
\[ \Дэльта = 16 \]
2. Вылічыце карані:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Такім чынам, мы атрымліваем два рашэнні:
\[x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Вызначэнне пікавай кропкі
3. Выкарыстайце формулу вяршыні:
\[ x_{\text{вяршыня}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{вяршыня}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\text{вяршыня}} = 1 \]
4. Вылічыце значэнне \(y \):
\[y_{\text{вяршыня}} = h(1) \]
\[y_{\text{вяршыня}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[y_{\text{вяршыня}} = 1 – 2 – 3 \]
\[y_{\text{вяршыня}} = -4 \]
Такім чынам, вяршыня мае выгляд \( (1, -4) \).
Маляванне графікаў
– Карані знаходзяцца ў пунктах \(x = 3 \) і \(x = -1 \).
– Вяршыня знаходзіцца ў пункце \( (1, -4) \).
– Паколькі \(a > 0 \), парабала раскрываецца ўверх.
Нанясіце гэтыя важныя кропкі на графік і намалюйце парабалу, якая праходзіць праз іх.
Разумеючы карані, вяршыню і кірунак парабалы, мы можам намаляваць больш дасканалы графік квадратычнай функцыі.
Выснова
Квадратная функцыя — гэта фундаментальнае паняцце матэматыкі з шырокім ужываннем. Разуменне квадратных функцый дапамагае нам паглыбіць разуменне іншых паняццяў матэматыкі і прыкладных навук. Практыкуючыся з прыкладамі і разумеючы крокі для іх рашэння, мы спадзяемся, што наша разуменне квадратных функцый паглыбіцца і стане больш прыдатным для выкарыстання.
