Прыклады пытанняў па бінамінальнай функцыі размеркавання
Бінамінальнае размеркаванне — гэта дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое апісвае колькасць поспехаў у эксперыменце, які складаецца з шэрагу незалежных выпрабаванняў з двума магчымымі вынікамі: поспехам і няўдачай. Кожнае выпрабаванне называецца выпрабаваннем, і бінамінальнае размеркаванне часта выкарыстоўваецца ў сітуацыях, калі цікавая колькасць поспехаў у шэрагу незалежных выпрабаванняў. У гэтым артыкуле мы абмяркуем асноўныя паняцці бінамінальнага размеркавання і прывядзем прыклады і рашэнні.
Асноўныя паняцці бінамінальнага размеркавання
Перш чым перайсці да прыкладаў пытанняў і іх абмеркавання, давайце абмяркуем некаторыя асноўныя паняцці, звязаныя з бінамінальным размеркаваннем.
1. Вызначэнне: Бінамінальнае размеркаванне вызначаецца як сума поспехаў у «n» незалежных выпрабаваннях, дзе кожнае выпрабаванне мае два магчымыя вынікі: поспех (з верагоднасцю p) або няўдача (з верагоднасцю q = 1 – p).
2. Функцыя імавернасці: Функцыя імавернасці бінамінальнага размеркавання мае выгляд:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Дзе:
– \(P(X = k) \) — імавернасць k поспехаў у n спробах.
– \( \binom{n}{k} \) — гэта камбінацыя n і k, якая вызначаецца як \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) — верагоднасць поспеху ў кожнай спробе.
– \( (1-p) \) — верагоднасць няўдачы ў кожнай спробе.
3. Чаканае значэнне і дысперсія:
– Сярэдняе чаканае значэнне бінамінальнага размеркавання роўнае ( \mu = np \).
– Дысперсія бінамінальнага размеркавання роўная \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Цяпер давайце ўжыем гэтыя паняцці ў прыкладзе задачы, каб лепш зразумець.
Прыклад пытання 1: Асноўныя разлікі бінамінальнага размеркавання
Пытанне:
Кампанія вырабляе электронныя кампаненты з верагоднасцю 0.95, што кожны кампанент пройдзе праверку якасці. Калі выраблена 10 кампанентаў, разлічыце верагоднасць таго, што роўна 8 кампанентаў пройдуць праверку якасці.
Абмеркаванне:
Для вырашэння гэтай задачы можна выкарыстаць формулу бінамінальнага размеркавання. Спачатку вызначаем наступныя параметры:
– \(n \) (агульная колькасць спроб) = 10
– \(k \) (колькасць поспехаў) = 8
– \(p \) (верагоднасць поспеху) = 0.95
– \(q \) (верагоднасць няўдачы) = 1 – 0.95 = 0.05
Затым падстаўце гэтыя значэнні ў формулу бінамінальнага размеркавання:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Спачатку вылічыце камбінацыю \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Затым вылічыце верагоднасці \( (0.95)^8 \) і \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \прыблізна 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Нарэшце, памножце ўсе гэтыя значэнні, каб атрымаць:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 + 0.0744
\]
Такім чынам, верагоднасць таго, што роўна 8 з 10 кампанентаў пройдуць праверку якасці, складае каля 0.0744 або 7.44%.
Прыклад пытання 2: Сукупная верагоднасць
Пытанне:
Усё яшчэ з той жа кампаніяй, разлічыце верагоднасць таго, што прынамсі 9 з 10 кампанентаў пройдуць праверку якасці.
Абмеркаванне:
Каб вырашыць гэтую задачу, нам трэба вылічыць кумулятыўную верагоднасць. Верагоднасць таго, што прынамсі 9 з 10 кампанентаў пройдуць тэст, азначае, што мы вылічваем \(P(X \geq 9) \), што можна запісаць як:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Выкарыстоўваючы формулу бінамінальнага размеркавання:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Спачатку разлічыце камбінацыю для кожнага выпадку:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Затым вылічыце верагоднасці для \( P(X = 9) \) і \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \прыблізна 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 + 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \прыблізна 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Поўная верагоднасць для \(P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≥ 9) = 0.3151 + 0.5987 = прыблізна 0.9138
\]
Такім чынам, верагоднасць таго, што прынамсі 9 з 10 кампанентаў пройдуць праверку якасці, складае каля 0.9138 або 91.38%.
Прыклад пытання 3: Чаканае значэнне і дысперсія
Пытанне:
Разлічыце чаканае значэнне і дысперсію колькасці кампанентаў, якія прайшлі праверку якасці, з 10 вырабленых кампанентаў, з верагоднасцю праходжання 0.95.
Абмеркаванне:
Выкарыстайце наступную формулу:
– Сярэдняе чаканае значэнне (μ = np)
– Дысперсія (σ² = np(1-p))
Пры n = 10 і p = 0.95:
\[
\μ = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]
Такім чынам, чаканае значэнне колькасці кампанентаў, якія прайшлі тэст якасці, складае 9.5, а дысперсія — 0.475.
Выснова
На трох прыведзеных вышэй прыкладах задач мы абмеркавалі, як вылічыць імавернасць з дапамогай бінамінальнага размеркавання для розных сітуацый: вылічэнне дакладнай імавернасці, кумулятыўнай імавернасці, а таксама вылічэнне чаканага значэння і дысперсіі. Веданне бінамінальнага размеркавання карысна ў розных галінах, такіх як вытворчасць, медыцынскія даследаванні і сацыяльная статыстыка, дзе вынікі паўторных эксперыментаў з двума магчымымі вынікамі можна прааналізаваць для палягчэння прыняцця рашэнняў. Спадзяемся, што прадстаўленыя прыклады задач і абмеркаванні дапамогуць вам лепш зразумець бінамінальнае размеркаванне.
