Прыклады пытанняў па абмеркаванні функцый і нефункцый: разуменне асноўных паняццяў
Пенгеналан
У матэматыцы, асабліва ў алгебры, паняцце функцыі з'яўляецца адным з найбольш фундаментальных і важных. Функцыі дазваляюць нам вельмі сістэматычна зразумець сувязь паміж двума мноствамі. Каб зразумець функцыю, нам спачатку трэба зразумець яе азначэнне і характарыстыкі. Таму ў гэтым артыкуле будуць разгледжаны прыклады задач і абмеркаваны функцыі і нефункцыі. Гэта дапаможа нам глыбей зразумець гэтую тэму.
Вызначэнне функцыі і нефункцыі
Пачнем з разумення азначэння функцыі. У матэматыцы функцыю можна вызначыць як сувязь, якая звязвае кожны элемент мноства даменаў з роўна адным элементам мноства кадомаў. Іншымі словамі, для кожнага элемента ў мностве даменаў існуе адзін і толькі адзін адпаведны элемент у мностве кадомаў.
Прыклады адносін, якія з'яўляюцца функцыямі:
– Мноства A = {1, 2, 3}
– Мноства B = {4, 5, 6}
– Суадносіны R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
Адносіны R з'яўляюцца функцыяй, таму што кожны элемент мноства A спалучаны толькі з адным элементам мноства B.
Нефункцыя — гэта сувязь, якая не адпавядае гэтым крытэрыям, а менавіта: у зыходнай вобласці ёсць хаця б адзін элемент, які спалучаецца з больш чым адным элементам у выніковай вобласці.
Прыклады адносін, якія не з'яўляюцца функцыямі:
– Устанавіць C = {1, 2, 3}
– Мноства D = {4, 5, 6}
– Суадносіны S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
Адносіны S не з'яўляюцца функцыяй, бо элемент «1» у мностве C спалучаны з двума элементамі ў мностве D (а менавіта 4 і 5).
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Каб яшчэ больш паглыбіць наша разуменне функцый і нефункцый, давайце разгледзім некалькі прыкладаў пытанняў і іх абмеркаванне.
Прыклад пытання 1: Вызначэнне функцый
Калі дадзены мноства X = {a, b, c, d} і мноства Y = {1, 2, 3, 4}, ці з'яўляецца сувязь функцыяй, вызначаная наступным чынам?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Абмеркаванне:
Давайце праверым кожны элемент у мностве X:
– «а» спалучаецца з «1»
– «b» спалучаецца з «2»
– «c» у пары з «3»
– «d» у пары з «4»
Паколькі кожны элемент у мностве X спалучаны роўна з адным элементам у мностве Y, стаўленне R з'яўляецца функцыяй.
Прыклад пытання 2: Вызначэнне функцый або нефункцый
Дадзены мноства P = {u, v, w} і мноства Q = {5, 6, 7}. Вызначце, ці з'яўляецца наступнае суадносіна функцыяй:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Абмеркаванне:
Давайце разгледзім кожны элемент у мностве P:
– «u» у пары з «5»
– «v» у пары з «6»
– «u» таксама спалучаецца з «7»
Паколькі элемент 'u' у мностве P спалучаны з больш чым адным элементам у мностве Q, стаўленне S не з'яўляецца функцыяй.
Прыклад пытання 3: Маляванне функцый з графікаў
Дадзены графік залежнасці на каардынатнай плоскасці. Вызначце, ці з'яўляецца гэта функцыяй. Графік паказвае наступныя пункты:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
Абмеркаванне:
Кожная кропка на графіку мае пару выгляду (x, y), што паказвае, што для кожнага зададзенага значэння x існуе роўна адно значэнне y, звязанае з ім. Паколькі кожны элемент у вобласці вызначэння спалучаны роўна з адным элементам у кадомане, дадзены графік з'яўляецца графікам функцыі.
Прыклад задачы 4: Функцыі ў форме ўраўнення
Вызначце, ці з'яўляецца ўраўненне y = x² функцыяй, калі дадзеная вобласць вызначэння складаецца з рэчаісных лікаў.
Абмеркаванне:
Нам трэба праверыць, ці мае кожнае значэнне x у вобласці адно і толькі адно значэнне y, звязанае з ім. Падставім некалькі значэнняў x:
– Калі x = 1, то y = 1² = 1
– Калі x = 2, то y = 2² = 4
– Калі x = -1, то y = (-1)² = 1
Відаць, што для кожнага выбранага значэння x існуе толькі адно адпаведнае значэнне y. Такім чынам, y = x² — гэта функцыя.
Прыклад пытання 5: Функцыі з адваротнымі функцыямі
Няхай f(x) — функцыя, вызначаная як f: x → x + 3. Знайдзіце адваротную да гэтай функцыі, калі яна існуе.
Абмеркаванне:
Калі f: x → x + 3, то нам трэба знайсці функцыю g такую, што f(g(x)) = x і g(f(x)) = x. Пачынаючы з ураўнення:
– y = x + 3
Каб знайсці адваротную велічыню, мы ізалюем x:
– x = y – 3
Такім чынам, адваротная функцыя мае выгляд g(y) = y – 3.
Такім чынам, адваротная функцыя f(x) = x + 3 — гэта f⁻¹(x) = x – 3.
Выснова
З вышэйсказанага мы разгледзелі некалькі прыкладаў задач, якія ўключаюць функцыі і нефункцыі, а таксама іх тлумачэнні. Паняцце функцыі вучыць нас, што кожны элемент мноства даменаў павінен быць спалучаны роўна з адным элементам мноства кадоменаў. Вызначэнне функцый па графіках і ўраўненнях таксама з'яўляецца карысным метадам для вызначэння характару сувязі. Практыкуючыся ў такіх задачах, мы лепш азнаёмімся з асноўнымі паняццямі функцый і нефункцый, якія з'яўляюцца неад'емнымі асновамі алгебры і іншых відаў матэматычнага аналізу.
