Прыклады пытанняў па абмеркаванні эфекту Комптана
Эфект Комптана — важная з'ява ў квантавай фізіцы. Гэта адкрыццё не толькі паглыбляе наша разуменне карпусна-хвалевага дуалізму святла, але і дае пераканаўчыя доказы квантавай тэорыі выпраменьвання. У гэтым артыкуле будзе разгледжаны эфект Комптана, яго асноўныя прынцыпы, а таксама прадстаўлены некаторыя прыклады задач і рашэнняў для прымянення гэтай канцэпцыі.
Разуменне эфекту Комптана
Эфект Комптана, названы ў гонар яго першаадкрывальніка Артура Г. Комптана, — гэта з'ява, пры якой фатон (часціца святла) сутыкаецца з электронам і змяняе даўжыню хвалі. Пасля сутыкнення фатон перадае частку сваёй энергіі электрону, у выніку чаго даўжыня хвалі фатона павялічваецца (або частата памяншаецца).
Гэта змяненне даўжыні хвалі называецца камптанаўскім зрухам і можа быць выражана ўраўненнем:
\[
Δλ = λ' – λ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Дзе:
– \(Δλ) — гэта змена даўжыні хвалі фатона,
– \(\lambda\) — пачатковая даўжыня хвалі фатона,
– \(\lambda'\) — даўжыня хвалі фатона пасля сутыкнення,
– \(h\) — пастаянная Планка (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \(m_e\) — маса электрона (\(9.109 \times 10^{-31} \, \text{кг}\)),
– \(c\) — хуткасць святла (\(3 \times 10^8 \, \text{м/с}\)),
– \(\theta\) — вугал рассейвання фатона.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1
Фатон з даўжынёй хвалі 0,1 нм трапляе на нерухомы электрон. Затым фатон рассейваецца пад вуглом 90° адносна свайго першапачатковага кірунку. Вылічыце даўжыню хвалі фатона пасля сутыкнення!
Абмеркаванне:
Вядома:
– Пачатковая даўжыня хвалі, (лямбда = 0.1 нм = 0.1 × 10⁻⁹ м)
– Кут рассейвання, \(\theta = 90^\circ \)
Выкарыстоўваючы ўраўненне зруху Комптана:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Падстаўце значэнні пастаяннай Планка, масы электрона і хуткасці святла:
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 9.109 × 10⁻⁴ + 3 × 10⁻⁴ (1 – cos 90⁻¹)
\]
Паколькі \(\cos 90^\circ = 0\),
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 9.109 × 10⁻⁴ + 3 × 10⁻⁴
\]
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 10⁻⁴ + 2.7327 × 34⁻⁴ + 22⁻¹
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \times 10^{-12} \, \text{м} = 0.00243 \, \text{нм}
\]
Такім чынам, даўжыня хвалі пасля сутыкнення:
\[
λ = λ + Δ λ = 0.1 нм + 0.00243 нм = 0.10243 нм
\]
Пытанне 2
Фатон з даўжынёй хвалі (λ = 0.05 нм) рассейваецца пад вуглом (θ = 120°). Вызначце даўжыню хвалі фатона пасля рассейвання.
Абмеркаванне:
Вядома:
– Пачатковая даўжыня хвалі, (лямбда = 0.05 нм = 0.05 × 10⁻⁹ м)
– Кут рассейвання, \(\theta = 120^\circ \)
Выкарыстоўваючы ўраўненне зруху Комптана:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Падстаўце значэнні пастаяннай Планка, масы электрона і хуткасці святла:
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 9.109 × 10⁻⁴ + 3 × 10⁻⁴ (1 – cos 120⁻¹)
\]
Паколькі \(\cos 120^\circ = -0.5\),
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 9.109 × 10⁻⁴ + 3 × 10⁻⁴ (1 – (-0.5))
\]
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 9.109 × 10⁻⁴ + 3 × 10⁻⁴ (1 + 0.5)
\]
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 2.7327 × 10⁻² + 1.5
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \times 10^{-12} \, \text{м} \times 1.5 = 3.645 \times 10^{-12} \, \text{м} = 0.003645 \, \text{нм}
\]
Такім чынам, даўжыня хвалі пасля сутыкнення:
\[
λ = λ + Δ λ = 0.05 нм + 0.003645 нм = 0.053645 нм
\]
Пытанне 3
Калі даўжыня хвалі фатона пасля рассеяння складае 0.045 нм, а вугал рассеяння роўны \(60^\circ\), вызначце даўжыню хвалі фатона да рассеяння.
Абмеркаванне:
Вядома:
– Даўжыня хвалі пасля сутыкнення, (лямбда = 0.045 нм = 0.045 х 10⁻⁹, м)
– Кут рассейвання, \(\theta = 60^\circ \)
Выкарыстоўваючы ўраўненне зруху Комптана:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Падстаўце значэнні пастаяннай Планка, масы электрона і хуткасці святла:
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 9.109 × 10⁻⁴ + 3 × 10⁻⁴ (1 – cos 60⁻¹)
\]
Паколькі \(\cos 60^\circ = 0.5\),
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 9.109 × 10⁻⁴ + 3 × 10⁻⁴ (1 – 0.5)
\]
\[
Дэльта лямбда = 6.626 × 10⁻⁴ + 2.7327 × 10⁻² + 0.5
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \times 10^{-12} \, \text{м} \times 0.5 = 1.215 \times 10^{-12} \, \text{м} = 0.001215 \, \text{нм}
\]
Даўжыня хвалі пасля сутыкнення вядомая:
\[
λ = λ + Δ λ
\]
Такім чынам, даўжыня хвалі да рассейвання:
\[
λ = λ' – Δ λ = 0.045 нм – 0.001215 нм = 0.043785 нм
\]
Выснова
Разуменне эфекту Комптана дазваляе нам лепш зразумець узаемадзеянне паміж фатонамі і электронамі ў кантэксце квантавай фізікі. Гэты зрух даўжыні хвалі з-за рассейвання дэманструе дуалізм хвалі і часціц святла і ўмацоўвае квантавую тэорыю выпраменьвання. Прыведзеныя вышэй прыклады з'яўляюцца прамымі прымяненнямі ўраўнення Комптана, якія могуць дапамагчы нам зразумець асноўную канцэпцыю і разлічыць змены даўжыні хвалі ў розных умовах.
