Прыклад пытанняў для абмеркавання па раўнамерным размеркаванні
Раўнамернае размеркаванне — адзін з найпрасцейшых тыпаў размеркавання імавернасцей у статыстыцы. Яно падзяляецца на два асноўныя тыпы: дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне і бесперапыннае раўнамернае размеркаванне. У гэтым артыкуле мы разгледзім абодва тыпы раўнамернага размеркавання, прывядзем прыклады і абмяркуем рашэнні гэтых праблем.
Дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне
Дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне — гэта размеркаванне імавернасцей, у якім кожны магчымы вынік эксперыменту або падзеі мае роўную верагоднасць адбыцца. Найпрасцейшымі прыкладамі з'яўляюцца кіданне кубіка або выбар карты з набору аднолькавых карт.
Прыклад пытання 1
Пытанне:
Кубік мае 6 граняў, пранумараваных ад 1 да 6. Вызначце імавернасць выпадзення 4 пры адным кіданні кубіка.
Абмеркаванне:
Паколькі кожны бок справядлівага кубіка мае аднолькавую верагоднасць з'яўлення, можна сказаць, што верагоднасць кожнага боку роўная:
P(A) = 1/n
Дзе n — агульная колькасць магчымых зыходаў. У гэтым выпадку n = 6.
Такім чынам, верагоднасць атрымання лічбы 4 роўная:
P(4) = 1/6 ≈ 0.167 або 16.7%
Прыклад пытання 2
Пытанне:
У скрынцы знаходзіцца 10 шарыкаў, пранумараваных ад 1 да 10. Калі адзін шарык выцягнуты выпадковым чынам, знайсці верагоднасць таго, што выцягнуты шарык мае нумар большы за 7.
Абмеркаванне:
Колькасць адпаведных шароў — гэта шары пад нумарамі 8, 9 і 10. Такім чынам, з 10 шароў ёсць 3 адпаведныя шары.
P(B) = колькасць шароў, якія адпавядаюць умовам / агульная колькасць шароў
P(B) = 3 / 10 = 0.3 або 30%
Бесперапыннае раўнамернае размеркаванне
Бесперапыннае раўнамернае размеркаванне — гэта размеркаванне, у якім усе значэнні ў зададзеным інтэрвале маюць аднолькавую верагоднасць узнікнення. Такое размеркаванне часта ўзнікае ў сітуацыях, калі кожны вынік у зададзеным дыяпазоне аднолькава верагодны.
Прыклад пытання 3
Пытанне:
Дапусцім, што X — выпадковая велічыня, раўнамерна размеркаваная ў дыяпазоне ад 0 да 1. Знайдзіце імавернасць таго, што X знаходзіцца ў дыяпазоне ад 0.25 да 0.75.
Абмеркаванне:
Для бесперапыннага раўнамернага размеркавання шчыльнасць імавернасці пастаянная па ўсім інтэрвале. У гэтым выпадку інтэрвал складае ад 0 да 1, што азначае, што шчыльнасць імавернасці (f(x)) роўная 1, таму што раўнамернае размеркаванне павінна мець агульную плошчу пад крывой, роўную 1.
Верагоднасць таго, што X знаходзіцца ў дыяпазоне ад 0.25 да 0.75, можна вылічыць як плошчу пад крывой PDF (функцыі шчыльнасці верагоднасці) паміж гэтымі двума межамі.
P(0.25 ≤ X ≤ 0.75) = (b – a) / (d – c)
Дзе a і b — ніжняя і верхняя межы шуканага інтэрвалу, а c і d — межы раўнамернага размеркавання. У гэтым выпадку a = 0.25, b = 0.75, c = 0 і d = 1.
P(0.25 ≤
Такім чынам, верагоднасць таго, што X знаходзіцца паміж 0.25 і 0.75, складае 0.5 або 50%.
Прыклад пытання 4
Пытанне:
Вымярэнне праводзіцца прыборам з раўнамерным размеркаваннем дакладнасці па інтэрвале [2, 5]. Знайдзіце верагоднасць таго, што вымярэнне дае значэнне паміж 3 і 4.
Абмеркаванне:
Для раўнамернага размеркавання на інтэрвале [2, 5] шчыльнасць імавернасці пастаянная, а агульная плошча пад крывой роўная 1. Такім чынам, шчыльнасць імавернасці (f(x)) роўная 1/(5-2) = 1/3.
Верагоднасць таго, што вымярэнне знаходзіцца ў дыяпазоне ад 3 да 4, роўная:
P(3 ≤ X ≤ 4) = (b – a) / (d – c)
Дзе a і b — межы шуканага інтэрвалу, а c і d — межы раўнамернага размеркавання. У гэтым выпадку a = 3, b = 4, c = 2 і d = 5.
P(3 ≤ X ≤ 4) = (4 – 3) / (5 – 2) = 1/3 ≈ 0.333 або 33.3%
Выснова
Раўнамернае размеркаванне з'яўляецца вельмі карысным інструментам у тэорыі верагоднасці і статыстычным аналізе дзякуючы сваёй прастаце і лёгкасці разумення. Як у дыскрэтнай, так і ў бесперапыннай формах раўнамернае размеркаванне гарантуе, што кожны вынік у зададзеным дыяпазоне мае аднолькавую верагоднасць.
Ключавыя моманты
1. Дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне: Верагоднасць кожнага выніку ў пэўным дыяпазоне аднолькавая. Прыклад: кіданне кубіка.
2. Бесперапыннае раўнамернае размеркаванне: шчыльнасць імавернасці пастаянная на ўсім інтэрвале. Прыклад: вымярэнне даўжыні або вагі дакладным інструментам у пэўным дыяпазоне.
Разумеючы гэтую канцэпцыю і выкарыстоўваючы прыклады і дыскусіі, мы можам лягчэй ужываць раўнамернае размеркаванне да розных рэальных сітуацый і даследаванняў. Гэта дапамагае растлумачыць з'явы, якія маюць аднолькава верагодныя вынікі, незалежна ад таго, ці ў дыскрэтнай, ці ў бесперапыннай форме.
Раўнамерныя размеркаванні карысныя не толькі ў статыстыцы, але і ў інфарматыцы, інжынерыі, эканоміцы і многіх іншых галінах, дзе патрабуецца прыняцце рашэнняў або аналіз дадзеных. Напрыклад, у мадэляванні метадам Монтэ-Карла раўнамерныя размеркаванні часта выкарыстоўваюцца для генерацыі выпадковых вектараў у пэўным дыяпазоне, якія затым выкарыстоўваюцца для ацэнкі розных сцэнарыяў і вынікаў.
Мы спадзяемся, што гэты артыкул дапамог вам лепш зразумець раўнамернае размеркаванне і тое, як вырашаць задачы з ім. Працягвайце практыкавацца, каб авалодаць гэтай канцэпцыяй і прымяняць яе да рэальных выпадкаў, якія маюць дачыненне да вашай галіны.
