Прыклады пытанняў і абмеркаванне бінамінальнага размеркавання
Бінамінальнае размеркаванне — адно з найбольш часта выкарыстоўваных дыскрэтных размеркаванняў імавернасцей. Яно карысна для мадэлявання колькасці поспехаў у шэрагу аднолькавых незалежных выпрабаванняў, кожнае з якіх прыводзіць альбо да поспеху, альбо да няўдачы. У гэтым артыкуле мы больш падрабязна разгледзім бінамінальнае размеркаванне, прывёўшы некалькі прыкладаў і падрабязнае абмеркаванне.
Уводзіны ў бінамінальнае размеркаванне
Асноўныя характарыстыкі бінамінальнага размеркавання:
1. n: Колькасць спроб або паўтораў.
2. p: Верагоднасць поспеху ў кожнай спробе.
3. q = 1-p: Верагоднасць няўдачы ў кожнай спробе.
Функцыя масы імавернасці бінамінальнага размеркавання мае выгляд:
\[ P(X = k) = {n \выберыце k} p^k (1-p)^{nk} \]
Дзе:
– \( {n \выберыце k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Выпадковая велічыня, якая прадстаўляе колькасць поспехаў.
– \(k \): Колькасць жаданых поспехаў.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Давайце пачнем з некалькіх прыкладаў задач, каб больш падрабязна зразумець канцэпцыю бінамінальнага размеркавання.
Прыклад 1: Выбар з групы студэнтаў
Напрыклад, дапусцім, у нас ёсць група з 10 студэнтаў, і верагоднасць таго, што кожны студэнт будзе абраны для ўдзелу ў конкурсе, роўная 0,3. Нам патрэбна ведаць верагоднасць таго, што будуць абраныя роўна 4 студэнты.
Крок 1: Вызначце параметры бінамінальнага размеркавання.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Крок 2: Выкарыстайце бінамінальнае размеркаванне для вылічэння імавернасці \(X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \выберыце 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Вылічэнне \( {10 \выберыце 4} \):
\[ {10 \выберыце 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Цяпер вылічыце \( (0.3)^4 \) і \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Такім чынам,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \прыблізна 0.20012 \]
Такім чынам, верагоднасць таго, што будуць выбраны роўна 4 студэнты, складае прыблізна 0.20012 або 20.012%.
Прыклад 2: Верагоднасць меншая або роўная 2
Зараз, напрыклад, нас пытаюцца пра верагоднасць таго, што будзе адабрана менш за 2 студэнты або роўна.
Крок 1: Нам трэба вылічыць \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) і \( P(X = 2) \).
– Для \(P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \выберыце 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \выберыце 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Для \(P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \выберыце 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \выберыце 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Для \(P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \выберыце 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \выберыце 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Крок 2: Падлічыце верагоднасці.
\[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671
Такім чынам, верагоднасць таго, што будзе выбрана менш за 2 студэнты або роўная ім, складае прыблізна 0.7740671 або 77.41%.
Прыклад 3: Верагоднасць не менш за 8
Калі эксперымент праводзіцца 12 разоў, і верагоднасць поспеху ў кожнай спробе роўная 0.5, якая верагоднасць таго, што адбудзецца не менш за 8 поспехаў?
Крок 1: Устанавіць параметры бінома: \(n = 12, p = 0.5 \).
Крок 2: Знайдзіце імавернасць для \(X \geq 8 \).
Гэта патрабуе разліку некалькіх асобных верагоднасцей і іх складання:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Лічыце па адным:
– Для \(P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \выберыце 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \выберыце 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Для \(P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \выберыце 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \выберыце 9} = 220 \]
\[P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Для \(P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \выберыце 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \выберыце 10} = 66 \]
\[P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Для \(P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \выберыце 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \выберыце 11} = 12 \]
\[P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Для \(P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \выберыце 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \выберыце 12} = 1 \]
\[P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Крок 3: Складзіце ўсе верагоднасці.
\[P(X √8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \прыблізна 0.1938477 \]
Такім чынам, верагоднасць таго, што ў 12 спробах адбудзецца як мінімум 8 поспехаў, складае прыблізна 0.1938477 або 19.38%.
Выснова
Бінамінальнае размеркаванне — гэта фундаментальная канцэпцыя статыстыкі, якая мае вырашальнае значэнне ў многіх практычных ужываннях. Разумеючы, як вылічваць імавернасці для розных выпадкаў бінамінальнага размеркавання, як паказана ў прыведзеных вышэй прыкладах, мы можам прымяніць гэтую канцэпцыю ў рэальных сітуацыях. Гэта практыкаванне таксама ўмацоўвае наша разуменне таго, як працуюць структуры імавернасцей у зразумелым і арганізаваным кантэксце.
