Прыклады пытанняў па абмеркаванні арыфметычных шэрагаў
Арыфметычныя паслядоўнасці — гэта фундаментальнае паняцце матэматыкі, якое часта сустракаецца ў розных задачах як у сярэдняй школе, так і ў вышэйшай адукацыі. Гэта паняцце ўключае паслядоўнасць лікаў, дзе кожны член з'яўляецца вынікам дадання або аднімання пастаяннага ліку ад папярэдняга члена. У гэтым артыкуле мы абмяркуем некалькі прыкладаў задач і іх рашэнні, каб лепш зразумець паняцце арыфметычных паслядоўнасцей.
Разуменне арыфметычных шэрагаў
Арыфметычны рад — гэта рад, у якім паміж двума паслядоўнымі членамі ёсць пастаянная рознасць (розніца). Напрыклад, калі арыфметычны рад мае першы член \(a\) і рознасць \(d\), то члены можна запісаць наступным чынам:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Калі мы хочам знайсці n-ы член гэтага шэрагу, формула для n-га члена (\(U_n\)) выглядае наступным чынам:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Тым часам суму першых n членаў арыфметычнага шэрагу (\(S_n\)) можна вылічыць па формуле:
S_n = (2a + (n-1)d)
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Прыклад пытання 1
Пытанне: Дадзены арыфметычны рад з першым членам \(a = 5\) і агульнай рознасцю \(d = 3\). Знайдзіце 10-ы член рада.
Абмеркаванне:
Каб знайсці 10-ы член (\(U_{10}\)), можна выкарыстаць формулу n-га члена:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[U_{10} = 5 + 27 \]
\[U_{10} = 32 \]
Такім чынам, 10-ы член шэрагу роўны 32.
Прыклад пытання 2
Пытанне: Знайдзіце суму першых 15 членаў арыфметычнага шэрагу, першы член якога роўны \(a = 4\), а агульная рознасць \(d = 7\).
Абмеркаванне:
Каб знайсці суму першых 15 членаў (\(S_{15}\)), можна выкарыстаць формулу для сумы першых n членаў:
S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d)
S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[S_{15} = 795 \]
Такім чынам, сума першых 15 членаў шэрагу роўная 795.
Прыклад пытання 3
Пытанне: Вядома, што 5-ы член арыфметычнага шэрагу роўны 20, а 12-ы — 48. Знайдзіце першы член (\(a\)) і агульную рознасць (\(d\)) шэрагу.
Абмеркаванне:
З дадзеных умоў:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
У нас ёсць два лінейныя ўраўненні з двума зменнымі, якія мы можам вырашыць:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
З ураўнення 1 мы можам выразіць \(a\) праз \(d\):
\[a = 20 – 4d\]
Цяпер падстаўляем \(a\) у раўнанне 2:
\[20 – 4d + 11d = 48 \]
\[20 + 7d = 48 \]
\[7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Цяпер падстаўляем значэнне \(d\) у раўнанне \(a = 20 – 4d\):
\[a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Такім чынам, першы член шэрагу роўны 4, а агульная рознасць — 4.
Прыклад пытання 4
Пытанне: Колькі членаў патрэбна, каб арыфметычны шэраг з першым членам (a = 2) і агульнай рознасцю (d = 5) даваў суму 200?
Абмеркаванне:
У гэтым выпадку нам трэба знайсці суму першых n членаў (\(S_n\)), якая роўная 200. Выкарыстайце формулу для сумы першых n членаў:
S_n = (2a + (n-1)d) = 200
Падстаўце значэнні \(a\) і \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[n (5n – 1) = 400 \]
Гэта квадратнае ўраўненне. Каб яго вырашыць, мы змяняем яго выгляд:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Выкарыстайце квадратычную формулу \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
У гэтым выпадку \(a = 5\), \(b = -1\) і \(c = -400\):
\[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Калі значэнне \(\sqrt{8001}\) блізкае да 89.42, то:
\[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Мы прымаем станоўчыя значэнні:
\[n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[n \прыблізна \frac{90.42}{10} \]
\[n \прыблізна 9.042 \]
Такім чынам, колькасць неабходных складнікаў складае 9 складнікаў (калі акругліць).
Выснова
Арыфметычныя паслядоўнасці — важная тэма ў матэматыцы. Глыбокае разуменне першага члена, агульнай рознасці, n-га члена і сумы першых n членаў мае неацэннае значэнне для вырашэння шырокага кола задач. Выкарыстоўваючы прыведзеныя вышэй прыклады і абмеркаванні, мы спадзяемся, што чытачы лепш зразумеюць асноўныя паняцці арыфметычных паслядоўнасцей.
