Прыклады пытанняў па абмеркаванні вызначэння акружнасці
Круг — адна з асноўных геаметрычных фігур, з якімі мы часта сутыкаемся ў паўсядзённым жыцці. У матэматыцы кругі маюць унікальныя азначэнні і характарыстыкі. У гэтым артыкуле падрабязна разгледзім азначэнне круга і звязаныя з ім элементы, а таксама прывядзем некалькі прыкладаў задач і іх рашэнняў, каб паглыбіць наша разуменне кругоў.
Вызначэнне круга
Акружнасць — гэта мноства ўсіх пунктаў плоскасці, якія знаходзяцца на роўнай адлегласці ад фіксаванай кропкі, якая называецца цэнтрам акружнасці. Адлегласць паміж цэнтрам і любой кропкай на акружнасці называецца радыусам акружнасці. Агульнае ўраўненне акружнасці з цэнтрам у кропцы (h, k) і радыусам (r) задаецца наступным чынам:
\[(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Там:
– \((h, k)\) — каардынаты цэнтра акружнасці,
– \(r\) — радыус акружнасці,
– \(x\) і \(y\) — каардынаты любой кропкі на акружнасці.
Элементы круга
Перш чым перайсці да прыкладаў пытанняў, варта даведацца пра некаторыя важныя элементы круга:
1. Цэнтр акружнасці: нерухомая кропка, якая з'яўляецца цэнтрам усіх кропак, якія знаходзяцца на аднолькавай адлегласці адна ад адной.
2. Радыус (r): адлегласць ад цэнтра акружнасці да любой кропкі на акружнасці.
3. Дыяметр (d): прамая лінія, якая праходзіць праз цэнтр акружнасці і злучае дзве кропкі на акружнасці, мае даўжыню, удвая большую за радыус (d = 2r)).
4. Дуга: частка акружнасці, якая ляжыць паміж двума кропкамі на акружнасці.
5. Хорда: прамая лінія, якая злучае дзве кропкі на акружнасці, але не праходзіць праз цэнтр.
6. Апотэма: Найкарацейшая адлегласць ад цэнтра акружнасці да хорды.
7. Цэнтральны вугал: вугал, утвораны двума радыусамі з цэнтра акружнасці.
8. Кут перыметра: вугал, утвораны дзвюма хордамі, якія перасякаюцца ў адным пункце на акружнасці.
Прыклады пытанняў і абмеркавання
Прыклад пытання 1
Пытанне: Дадзена акружнасць з цэнтрам у пункце (3, 4) і праходзіць праз пункт (7, 4). Вызначце ўраўненне акружнасці.
Абмеркаванне:
Каб знайсці ўраўненне акружнасці, нам спачатку трэба ведаць яе радыус. Паколькі акружнасць праходзіць праз кропку \((7, 4)\), мы можам вылічыць адлегласць паміж гэтай кропкай і цэнтрам акружнасці, якая роўная \((3, 4)\).
\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = \sqrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
R = 4
\]
З цэнтрам у пункце \(3, 4)\) і радыусам 4, ураўненне акружнасці мае выгляд:
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Прыклад пытання 2
Пытанне: Вызначце плошчу і доўгую акружнасць з радыусам 5 см.
Абмеркаванне:
– Плошчу круга (A) можна вылічыць па формуле \(A = \pi r^2\),
\[
A = \пі \times 5^2
\]
\[
A = 25\пі \text{ см}^2
\]
Калі \(\π \прыблізна 3.14\), то:
\[
A \прыблізна 25 \times 3.14 = 78.5 \text{ см}^2
\]
– Акружнасць круга (C) можна вылічыць па формуле \(C = 2\π r\),
\[
C = 2 × π × 5
\]
\[
C = 10\пі \text{ см}
\]
Калі \(\π \прыблізна 3.14\), то:
\[
C \прыблізна 10 \times 3.14 = 31.4 \text{ см}
\]
Прыклад пытання 3
Пытанне: Акружнасць мае цэнтр у пункце O і радыус 7 см. Калі на акружнасці праведзена хорда даўжынёй 10 см, вызначце найкарацейшую адлегласць ад цэнтра O да хорды.
Абмеркаванне:
Каб знайсці найкарацейшую адлегласць ад цэнтра да хорды, мы выкарыстоўваем паняцце апатэмы, якое з'яўляецца найкарацейшай адлегласцю ад цэнтра да хорды. З радыусам 7 см і даўжынёй хорды 10 см мы можам падысці да гэтай задачы, выкарыстоўваючы ўтвораны прамавугольны трохвугольнік.
Калі сярэдзіна хорды — гэта кропка C, то OC — гэта апофема, якую мы шукаем. Калі A і B — канчатковыя кропкі хорды, то AC і BC роўныя 5 см (палова ад 10 см).
З трохвугольніка OAC, які з'яўляецца прамым у кропцы C, мы выкарыстоўваем тэарэму Піфагора:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}
\]
Прыклад пытання 4
Пытанне: Дадзена акружнасць з ураўненнем \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\). Вызначце цэнтр і радыус акружнасці.
Абмеркаванне:
Каб знайсці цэнтр і радыус, пераўтворым раўнанне ў стандартны выгляд:
\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]
Мы вырашаем, даводзячы да дасканаласці квадратычную форму:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
Даданне і адніманне (6/2)\(^2\) да члена x і (8/2)\(^2\) да члена y:
\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
З ураўнення \((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\) атрымліваем, што цэнтр акружнасці знаходзіцца ў пункце \((-3, 4)\), а радыус роўны \(r = \sqrt{16} = 4\).
Выснова
Акружнасць — гэта фундаментальнае і найважнейшае паняцце ў геаметрыі. Дзякуючы прыведзеным вышэй прыкладам задач і абмеркаванням, мы можам глыбей зразумець розныя аспекты і ўласцівасці акружнасцей. Авалоданне гэтай тэмай дазволіць лягчэй разумець і вырашаць больш складаныя геаметрычныя задачы.
