Прыклады пытанняў і абмеркаванне правіла ланцуга ў вытворных
Правіла ланцуга — адно з найважнейшых паняццяў дыферэнцыяльнага вылічэння, якое выкарыстоўваецца для вылічэння вытворнай функцыі, якая складаецца з дзвюх або больш функцый. У гэтым артыкуле мы абмяркуем асноўнае паняцце правіла ланцуга, спосабы яго выкарыстання і прыклады яго выкарыстання ў задачах на вытворныя, якія часта ўзнікаюць як у сярэдняй школе, так і ў каледжы.
1. Уводзіны ў правіла ланцуга
Перш чым перайсці да прыкладу задачы, давайце спачатку разбярэмся, што такое правіла ланцуга. Правіла ланцуга сцвярджае, што калі ў нас ёсць дзве дыферэнцыявальныя функцыі \(f \) і \(g \), і мы хочам знайсці вытворную складу функцый \(h = f(g(x)) \), то вытворная \(h \) будзе:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Простымі словамі, мы вылічваем вытворную знешняй функцыі па g(x), а затым памнажаем вынік на вытворную ўнутранай функцыі (g(x)).
2. Разуменне функцыі кампазіцыі
Перш чым перайсці да прыкладаў задач, важна зразумець кампазіцыйныя функцыі. Кампазіцыйная функцыя — гэта функцыя, якая атрымліваецца шляхам устаўкі адной функцыі ў іншую. Напрыклад, калі маем \( f(x) = \sin(x) \) і \( g(x) = x^2 \), то кампазіцыя дзвюх функцый будзе \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
У кампазіцыйных функцыях мы часта думаем пра \( g(x) \) як пра «ўнутраную функцыю», а \( f(x) \) як пра «знешнюю функцыю». У гэтым прыкладзе ўнутраная функцыя — гэта \( x^2 \), а знешняя — пра сінус.
3. Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Давайце разгледзім некалькі прыкладаў задач, для рашэння якіх выкарыстоўваецца правіла ланцуга.
Прыклад 1:
Дадзеная функцыя (y = \cos(3x^2)) дапаможа знайсці першую вытворную ад y адносна x.
Абмеркаванне:
Спачатку мы вызначым унутраную і знешнюю функцыі. Тут унутраная функцыя мае выгляд \(g(x) = 3x^2 \), а знешняя функцыя — \(f(g) = \cos(g) \).
Мы ведаем:
1. \(g'(x) = 6x \)
2. \(f'(g) = -\sin(g) \)
Па правілу ланцуга атрымліваем:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Такім чынам, вытворная ад \(y = \cos(3x^2) \) роўная:
\[y' = -6x \sin(3x^2) \]
Прыклад 2:
Знайдзіце першую вытворную ад \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
Абмеркаванне:
Тут унутраная функцыя мае выгляд \(g(x) = 5x^3 + 2x \), а знешняя функцыя — \(f(g) = e^g \).
Мы ведаем:
1. \(g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \(f'(g) = e^g \)
Па правілу ланцуга атрымліваем:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
Такім чынам, вытворная ад \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) роўная:
\[h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Прыклад 3:
Знайдзіце першую вытворную ад \(y = \ln(4x^2 – 5) \).
Абмеркаванне:
Унутраная функцыя мае выгляд \(g(x) = 4x^2 – 5 \), а знешняя функцыя — \(f(g) = \ln(g) \).
Мы ведаем:
1. \(g'(x) = 8x \)
2. \(f'(g) = \frac{1}{g} \)
Па правілу ланцуга атрымліваем:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Такім чынам, вытворная ад \(y = \ln(4x^2 – 5) \) роўная:
\[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Прыклад 4:
Дадзеная функцыя (y = (3x^2 + 2x + 1)^4) — знайсці яе вытворную.
Абмеркаванне:
Унутраная функцыя мае выгляд \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \), а знешняя функцыя — \(f(g) = g^4 \).
Мы ведаем:
1. \(g'(x) = 6x + 2 \)
2. \(f'(g) = 4g^3 \)
Па правілу ланцуга атрымліваем:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Такім чынам, вытворная ад \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) роўная:
\[y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Асаблівыя выпадкі і распрацоўка правілаў ланцуга
Часам правіла ланцуга не абмяжоўваецца кампазіцыяй толькі дзвюх функцый. Бываюць выпадкі, калі функцыя з'яўляецца кампазіцыяй больш чым дзвюх функцый, напрыклад: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
У выпадку трох функцый правіла ланцуга можна ўжываць па пластах:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Мы бачым, што ў кожным пласце мы вылічваем вытворныя знешніх слаёў, перш чым перайсці да вытворных унутраных слаёў.
Прыклад 5:
Дадзена y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)}, і знайдзіце яго вытворную.
Абмеркаванне:
Унутраная функцыя — (k = 2x^2 + 1), сярэдняя: (g = (ln(k)) і знешняя: (f = (g)).
Мы ведаем:
1. \(k'(x) = 4x \)
2. \(g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Давайце ўжыем правіла ланцуга ў пластах:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Такім чынам, вытворная ад \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) роўная:
\[y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Кесімпулан
Правіла ланцуга адыгрывае жыццёва важную ролю ў дыферэнцыяльным вылічэнні, асабліва пры разглядзе кампазіцыі функцый. Разуменне і засваенне правіла ланцуга забяспечвае трывалую аснову для вырашэння больш складаных задач у вылічэнні. У гэтым артыкуле разгледжаны некалькі важных прыкладаў, якія дазваляюць добра зразумець прымяненне правіла ланцуга да вытворных. Мы спадзяемся, што гэта абмеркаванне будзе карысным для студэнтаў і можа быць ужыта ў розных складаных матэматычных сітуацыях.
