Statistikada Bootstrap Metodu
Pendahuluan
Statistika məlumatları toplamağı, təhlil etməyi, şərh etməyi və təqdim etməyi hədəfləyən elmdir. Statistik təhlil tez-tez dəqiq qiymətləndirmələr aparmaq üçün böyük nümunə ölçüləri tələb edən müəyyən fərziyyələrə və ya ehtimal nəzəriyyələrinə əsaslanır. Lakin, bir çox hallarda böyük nümunələr əldə etmək nə praktik, nə də mümkün deyil. Məhz burada yenidən nümunə götürmə texnikası olan bootstrap metodu çox faydalı olur.
Bootstrap metodu ilk dəfə 1979-cu ildə Bredli Efron tərəfindən təqdim edilmişdir və çevikliyi və xüsusi paylanma fərziyyələri irəli sürmədən bir çox populyasiya parametrləri üçün dəqiq qiymətləndirmələr aparmaq qabiliyyətinə görə statistikada ən populyar üsullardan birinə çevrilmişdir. Bu məqalədə bootstrap metodunun əsas prinsipləri, tətbiq mərhələləri və statistikada tətbiqlərinə dair bir neçə nümunə izah ediləcək.
Bootstrap Metodunun Əsas Prinsipləri
Bootstrap metodu, orijinal məlumatlarımızı yenidən nümunə götürməklə statistikanın paylanmasını (məsələn, orta, median, dispersiya) qiymətləndirməyə imkan verən qeyri-parametrik bir yanaşmadır. Bu metodun əsas prinsipi, təkrar nümunə götürmə ilə bir çox yeni məlumat dəstini simulyasiya etmək üçün mövcud məlumatlardan (orijinal nümunə) istifadə etməkdir.
Bootstrap metodunda atılan əsas addımlar aşağıdakılardır:
1. Yenidən nümunə götürün: N ölçülü orijinal məlumat dəstindən N dəfə dəyişdirilərək yenidən nümunə götürün. Bu o deməkdir ki, təhlil üçün seçilmiş elementlər birdən çox dəfə seçilə bilər.
2. Statistika Hesablayın: Hər bir nümunə üçün istədiyiniz statistikanı (məsələn, orta, median) hesablayın.
3. Prosesi təkrarlayın: Maraqlandığınız statistikanın bootstrap paylanmasını əldə etmək üçün 1-ci və 2-ci addımları bir neçə dəfə təkrarlayın (məsələn, B=1000 və ya daha çox).
4. Qiymətləndirmə və Nəticə: Bu başlanğıc paylanmasından etibarlılıq intervalları yaratmaq, fərziyyələri sınaqdan keçirmək və ya digər nəticə çıxarma statistikaları yaratmaq üçün istifadə edin.
Bootstrap Tətbiq Mərhələləri
Bootstrap metodu aşağıdakı mərhələlərdə daha ətraflı izah edilə bilər:
1. Təkrar nümunə götürmə
Əvəzləmə ilə yenidən nümunə götürmə bootstrap metodunun mahiyyətidir. Orijinal məlumatlardan istifadə edərək, bootstrap nümunələri adlanan bir çox yeni məlumat dəsti yaradırıq. Hər bir bootstrap nümunəsi, N ölçülü orijinal məlumat dəstindən N dəfə nümunə götürməyin nəticəsidir, lakin əvəzləmə ilə, beləliklə, orijinal nümunədəki elementlər bootstrap nümunələrində birdən çox dəfə görünə bilər.
Kontakt:
Əgər orijinal məlumatlara sahibiksə, mümkün bir bootstrap nümunəsi [3, 5, 7, 9] ola bilər.
2. Bootstrap Statistikası Hesablanması
Hər bir bootstrap nümunəsi üçün istədiyiniz statistikanı hesablayın. Tutaq ki, orta qiymətlə maraqlanırıq, hər bir bootstrap nümunəsi üçün orta qiyməti hesablayacağıq. Bu prosesi B dəfə təkrarlasaq, orta qiymətin B təxminini alacağıq.
3. Bootstrap Distribution-un Formalaşdırılması
B bootstrap nümunələrindən hesablanmış bütün statistikaları birləşdirərək, istədiyiniz statistikanın bootstrap paylanmasını qururuq. Bu paylanma statistikanın nümunə paylanmasını təxmini olaraq hesablamaq üçün istifadə olunur.
4. Statistik Nəticə
Bu bootstrap paylanmasından müxtəlif statistik nəticələr çıxara bilərik. Məsələn, bootstrap paylanmasından faiz götürərək etibarlılıq intervallarını təyin edə və ya bu paylanmadan əldə edilən p-dəyərinə baxaraq hipotezləri sınaqdan keçirə bilərik.
Bootstrap Metodundan İstifadə Nümunəsi
Daha aydın bir mənzərə yaratmaq üçün, bootstrap metodunun praktik kontekstlərdə necə istifadə olunduğuna dair bəzi nümunələrə nəzər salaq.
Nümunə 1: Orta Etibarlılıq Aralığı
Tutaq ki, 10 fərd üçün bədən çəkilərinin nümunə məlumatları aşağıdakı kimidir: \[60, 62, 67, 70, 65, 68, 64, 60, 66, 63\].
1. Bu məlumatlardan eyni ölçülü 1000 bootstrap nümunəsi götürürük, məsələn:
– Nümunə 1: \[62, 67, 70, 67, 64, 62, 63, 65, 68, 60\]
– Nümunə 2: \[60, 62, 70, 70, 63, 64, 63, 65, 68, 62\]
- və s.…
2. Hər bir bootstrap nümunəsindən orta qiyməti hesablayırıq:
– Nümunə ortalaması 1: (62+67+70+67+64+62+63+65+68+60) / 10
– Nümunə ortalaması 2: (60+62+70+70+63+64+63+65+68+62) / 10
- və s.…
3. Bu addımı 1000 dəfə təkrarlamaqla 1000 orta çəki əldə edəcəyik.
4. Bu 1000 orta məlumatla, biz bootstrap paylanması yaradırıq və 95% etibarlılıq intervalı yaratmaq üçün 2.5-ci və 97.5-ci persentilləri götürürük.
Nümunə 2: Çoxlu Median Hipotez Testi
Tutaq ki, iki məlumat dəstinin medianlarının bərabər olub olmadığını yoxlamaq istəyirik. Medianlardakı fərqin paylanmasını yaratmaq üçün bootstrapping-dən istifadə edə bilərik.
1. Orijinal məlumat dəstlərinin hər birindən bootstrap nümunələri götürün.
2. Hər bir bootstrap nümunəsi üçün median fərqini hesablayın.
3. Bootstrap median fərqlərinin paylanmasını yaradın.
4. Sıfırın paylanmanın etibarlılıq intervalına düşüb-düşmədiyini yoxlayın.
Bootstrap Metodunun Üstünlükləri və Məhdudiyyətləri
Kelebihan
– Parametrik olmayan: Məlumatların paylanması ilə bağlı fərziyyələr tələb etmir.
– Kiçik nümunələr üçün effektivlik: Hətta kiçik nümunələr üçün də effektivdir.
– Çevik: Orta, median, reqressiya əmsalı və s. daxil olmaqla müxtəlif statistikalara tətbiq oluna bilər.
– Tətbiqin asanlığı: Hesablama texnologiyasının inkişafı ilə, bootstrap metodunu R və ya Python kimi statistik proqram təminatının köməyi ilə tətbiq etmək olduqca asandır.
Məhdudiyyətlər
– Hesablama Xərci: Xüsusilə böyük məlumat ölçüləri və ya çox sayda önyükleme nümunəsi ilə çoxlu hesablama resursları tələb edə bilər (B).
– Nümunə Müxtəlifliyi: Yalnız orijinal populyasiyanı kifayət qədər təmsil edən nümunələr üçün uyğundur.
– Qərəzlilikdən Qorumur: Əgər orijinal məlumatlar qərəzlidirsə, bütün bootstrap nümunələri eyni qərəzliliyə malik olacaq.
Nəticə
Bootstrap metodu bir çox statistik nəticə çıxarma problemlərinə güclü və çevik bir həll təklif edir. Hər hansı bir xüsusi paylanmanı fərz etmədən müxtəlif statistikaların paylanmasını səmərəli şəkildə qiymətləndirmək qabiliyyəti ilə bootstrap metodu məlumatların təhlilində dəyərli bir vasitəyə çevrilmişdir. Məhdudiyyətlərinə baxmayaraq, təklif etdiyi faydalar çox vaxt hesablama xərclərindən daha çoxdur. Düzgün istifadə edildikdə, bootstrap metodu statistik təhlilə zəngin və daha dəqiq məlumatlar verə bilər.
