Dispersiyanı necə hesablamaq olar: Tam Təlimat
Variasiya iqtisadiyyat və mühəndislikdən psixologiyaya və statistikanın özünə qədər müxtəlif sahələrdə istifadə olunan fundamental bir statistikadır. Məlumat dəstindəki dəyərlərin ortalama ətrafında nə dərəcədə yayıldığı barədə məlumat verir. Bu məqalədə tərifdən praktik addımlara qədər variasiyanın necə hesablanacağını ətraflı araşdıracağıq.
Pendahuluan
Dispersiyanı anlamaq üçün statistikada bəzi əsas anlayışları başa düşməliyik. Dispersiya, məlumat dəstindəki dəyərlərin orta qiymətdən nə qədər uzaqlaşdığının ölçüsüdür. Dispersiya hər bir dəyər və orta qiymət arasındakı kvadrat fərqlərin ortalaması kimi hesablanır. Dispersiya məlumatlardakı "dəyişkənliyin" göstəricisini təmin edir.
Variansın tərifi
Riyazi olaraq, dispersiya belədir:
\[ \text{Variance} ( \sigma^2 ) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \]
Harada:
– \( \sigma^2 \) populyasiya variasiyasının göstəricisidir.
– \( N \) populyasiyadakı dəyərlərin ümumi sayıdır.
– \( x_i \) i-ci fərdin dəyəridir.
– \( \mu \) populyasiya ortalamasıdır.
Nümunələr üçün variasiya düsturu bir az fərqlidir:
\[ \text{Nümunə Variansı} ( s^2 ) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
Harada:
– \( s^2 \) nümunə dispersiyasıdır.
– \( n \) nümunədəki dəyərlərin ümumi sayıdır.
– \( x_i \) nümunədəki i-ci fərdin dəyəridir.
– \( \bar{x} \) nümunə ortalamasıdır.
Dispersiyanı hesablamaq üçün addımlar
Konkret bir nümunə ilə dispersiyanın hesablanması üçün praktik addımları nəzərdən keçirək.
Nümunə: Əhali Variansının Hesablanması
Tutaq ki, aşağıdakı dəyərlərdən ibarət kiçik bir verilənlər dəstimiz var: 2, 4, 6, 8, 10.
1. Addım 1: Ortalamanı (Ortalamanı) hesablayın
\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]
2. Addım 2: Hər bir Dəyərin Orta Dəyərdən Fərqini və Onun Kvadrat Dəyərini Hesablayın
\[
\begin{align}
(2 – 6)^2 və= (-4)^2 = 16 \\
(4 – 6)^2 və= (-2)^2 = 4 \\
(6 – 6)^2 və= 0^2 = 0 \\
(8 – 6)^2 və= 2^2 = 4 \\
(10 – 6)^2 və= 4^2 = 16 \\
\end{align}
\]
3. Addım 3: Fərqlərin Bütün Kvadratlarını Toplayın
\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]
4. Addım 4: Fərqlərin Kvadratlarının Cəmini Dəyərlərin Sayına (N) Bölün
\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]
Beləliklə, bu məlumatların populyasiya variasiyası 8-dir.
Nümunə: Nümunə Variansının Hesablanması
İndi, yuxarıdakı verilənlər dəstindən kiçik bir nümunə götürək: 2, 4, 6.
1. Addım 1: Nümunə Orta Dəyərini Hesablayın
\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]
2. Addım 2: Hər bir Dəyərin Orta Dəyərdən Fərqini və Onun Kvadrat Dəyərini Hesablayın
\[
\begin{align}
(2 – 4)^2 və= (-2)^2 = 4 \\
(4 – 4)^2 və= 0^2 = 0 \\
(6 – 4)^2 və= 2^2 = 4 \\
\end{align}
\]
3. Addım 3: Fərqlərin Bütün Kvadratlarını Toplayın
\[ 4 + 0 + 4 = 8 \]
4. Addım 4: Fərqlərin Kvadratlarının Cəmini (n – 1)-ə bölün
\[ s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]
Beləliklə, bu məlumatların nümunə dispersiyası 4-dür.
Əhali və Nümunədə Variasiya
Əhali variasiya ilə nümunə variasiya arasındakı fərqi anlamaq vacibdir. Əhali variasiya məlumatların bütün populyasiya üzrə yayılmasını, nümunə variasiya isə populyasiyanın bir alt qrupu (nümunəsi) daxilində yayılmanı ölçür. Bir çox hallarda, populyasiya variasiyasını qiymətləndirmək üçün nümunə variasiyasından istifadə olunur. Nümunə variasiyasının hesablanmasında \( (n-1) \)-ə bölmək populyasiya variasiyasının qiymətləndirilməsində qərəzi azaldır.
Varians Tətbiqi
Variance müxtəlif tətbiqlərdə istifadə olunur, məsələn:
1. Maliyyə Risklərinin Təhlili: Maliyyədə riskləri ölçmək və investisiya portfellərini idarə etmək üçün dispersiyadan istifadə olunur. Daha yüksək dispersiya daha riskli investisiya deməkdir.
2. Sosial Elmlər: Psixologiya və ya sosiologiya tədqiqatlarında əhali qrupları arasındakı fərqləri ölçmək üçün dispersiyadan istifadə olunur.
3. Keyfiyyətə Nəzarət: İstehsalda məhsulun keyfiyyətini izləmək və idarə etmək üçün dəyişkənliklərdən istifadə olunur.
4. Eksperimental Statistika: Eksperimental nəticələri təhlil etmək və fərqlərin əhəmiyyətini müəyyən etmək üçün istifadə olunur.
Varians və Standart Sapma
Variasiya tez-tez variasiyanın kvadrat kökü olan standart sapma ilə birlikdə istifadə olunur. Standart sapma variasiyadan daha birbaşa və asanlıqla şərh olunan yayılma ölçüsünü təmin edir. İkisi arasındakı tənlik belədir:
\[ \text{Standart Sapma} (\sigma) = \sqrt{\text{Variance} (\sigma^2)} \]
Nəticə
Variasiyanın hesablanması statistik təhlilin vacib bir hissəsidir və məlumat dəsti daxilində yayılma və ya dispersiyanın ölçüsünü təmin edir. Əsas anlayışları və variasiyanın necə hesablanacağını anlamaqla məlumatları daha yaxşı təhlil edə, riski qiymətləndirə və daha məlumatlı qərarlar qəbul edə bilərik.
İstər populyasiya variasiyasını daha elmi təhlil üçün, istərsə də məlumatların alt hissəsindən qiymətləndirmə üçün nümunə variasiyasından istifadə etməklə, variasiyanın hərtərəfli anlaşılması bizə məlumatların müxtəlifliyini anlamağa və onu müxtəlif real vəziyyətlərə tətbiq etməyə kömək edir. Ümid edirik ki, bu məqalə variasiyanı anlamaq və hesablamaq üçün praktik və faydalı bir bələdçi təqdim edəcək.
