Statistikada Əsas Komponent Təhlili
Pendahuluan
Əsas Komponent Təhlili (PKT), verilənlər dəstinin əsas xüsusiyyətlərini qoruyarkən məlumatların ölçülülüyünü azaltmaq üçün istifadə edilən statistik bir texnikadır. Böyük həcmli verilənlərin interpretasiyasını və emalını çətinləşdirə biləcəyi nümunə tanıma, təsvir emalı və genom məlumatlarının təhlili kimi sahələrdə geniş istifadə olunur. PKT, əhəmiyyətli məlumatları itirmədən məlumatları sadələşdirməyə kömək edir və bu da onu müasir verilənlər təhlilində olduqca faydalı bir vasitəyə çevirir.
PCA-nın Əsas Nəzəriyyəsi
PCA-nın əsas prinsipi məlumatların yeni koordinatlar dəstinə çevrilməsidir, burada məlumatlardakı maksimum dəyişkənlik birinci komponent, ikinci ən yüksək dəyişkənlik isə ikinci komponent və s. tərəfindən tutulur. Bu komponentlər əsas komponentlər adlanır. Proses bir neçə əsas addımı əhatə edir:
1. Məlumatların Standartlaşdırılması: Müxtəlif məlumatlar tez-tez fərqli miqyaslara malikdir və bu da PCA nəticələrinə təsir göstərə bilər. Buna görə də, məlumatlar adətən orta qiyməti çıxmaqla və standart sapmaya bölməklə standartlaşdırılır.
2. Kovarians Matrisi: Növbəti addım standartlaşdırılmış məlumatların kovarians matrisini hesablamaqdır. Bu matris iki dəyişənin birlikdə necə dəyişdiyini anlamağa kömək edir.
3. Xüsusi dəyər və Xüsusi vektor: Kovarians matrisinin xüsusi dəyəri və xüsusi vektoru hesablanır. Xüsusi vektor əsas komponentlərin istiqamətini, xüsusi dəyər isə onların əhəmiyyətini müəyyən edir.
4. Komponent Çeşidlənməsi: Əsas komponentlər öz dəyərlərinə görə, ən böyükdən ən kiçiyinə görə çeşidlənir. Əsas komponent seçimi adətən öz dəyərlərinə əsaslanır və daha böyük öz dəyərinə malik komponent sonrakı təhlil üçün seçilir.
5. Məlumatların Transformasiyası: Orijinal məlumatlar daha sonra sonrakı təhlil üçün əsas komponent sahəsinə çevrilir.
PCA-da addımlar
1. Məlumatların toplanması
PCA-da ilk addım müvafiq məlumatların toplanmasıdır. Bu məlumatlar təhlilin mənalı nəticələr verməsi üçün kifayət qədər böyük olmalıdır. Məsələn, səhiyyə tətbiqi üçün boy, çəki, qan təzyiqi və s. kimi xəstə məlumatlarını toplamaq olar.
2. Məlumatların Standartlaşdırılması
Məlumatlar toplandıqdan sonra, onun daxilindəki hər bir xüsusiyyət (sütun) standartlaşdırılmalıdır. Standartlaşdırmanın əsas məqsədi, hər bir xüsusiyyətin orijinal miqyasından asılı olmayaraq PCA-ya bərabər töhfə verməsini təmin etməkdir. Standartlaşdırma hər bir xüsusiyyətdən orta qiyməti çıxmaqla və sonra onu standart sapmaya bölməklə əldə edilir.
Formul:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Burada \(X\) orijinal xüsusiyyət dəyəri, \(\mu\) xüsusiyyət ortalaması və \(\sigma\) xüsusiyyətin standart sapmasıdır.
3. Kovarians Matrisinin Yaradılması
Növbəti addım standartlaşdırılmış məlumatlardan kovariasiya matrisi yaratmaqdır. Kovariasiya matrisi xüsusiyyətlərin dəyişkənliyini və onlar arasındakı əlaqələri təmsil edən kvadrat matrisdir.
Formul:
\[ Cov(X, Y) = E[(X – E[X])(Y – E[Y])] \]
Burada \(E\) gözlənti və ya orta qiymətdir.
4. Xüsusi dəyərlərin və Xüsusi vektorların hesablanması
Kovarians matrisi yaradıldıqdan sonra növbəti addım öz dəyərlərini və öz vektorlarını hesablamaqdır. Öz vektorları və öz dəyərləri PCA-nın əsasını təşkil edir, çünki onlar əsas komponentlərin istiqamətini və əhəmiyyətini müəyyən edirlər. Daha böyük öz dəyər müvafiq öz vektoru tərəfindən verilən istiqamətdə daha çox dispersiyanı göstərir.
5. Xüsusi Dəyərlərə Əsaslanan Komponentlərin Çeşidlənməsi
Əsas komponentlər öz dəyərlərinə görə ən böyükdən ən kiçiyinə qədər sıralanır. Ən böyük öz dəyərinə malik əsas komponent məlumatların dəyişkənliyinə ən çox töhfə verir.
6. Saxlanılacaq Komponentlərin Sayının Seçilməsi
Bütün əsas komponentlərin saxlanılmasına ehtiyac yoxdur. Komponent seçimi öz dəyərlərinə əsaslanır. Ümumi yanaşmalardan biri də məlumatlardakı ümumi variasiyanın hansı hissəsinin bir sıra əsas komponentlər tərəfindən izah edildiyini göstərən "Kumulyativ İzah Edilmiş Variasiya"dır.
7. Məlumatların Transformasiyası
Son addım orijinal məlumatları seçilmiş əsas komponent sahəsinin koordinatlarına çevirməkdir. Bu əsas komponent sahəsindəki dəyərlər daha da təhlil edilə bilən yeni atributlara çevrilir.
PCA Tətbiqləri
Təsnifat və Nümunə Tanıma
PCA təsnifat və naxış tanımada geniş istifadə olunur. Məlumatların ölçülülüyünü azaltmaqla PCA təsnifat prosesini daha səmərəli edir və hesablama mürəkkəbliyini azaldır. Məsələn, üz tanımada PCA şəkillərdəki üzlərin ölçülülüyünü azaldır ki, kompüterlər onları daha tez tanıya bilsinlər.
Şəkil emalı
PCA, vacib detalları itirmədən şəkil ölçüsünü azalda bilər. Bu texnika, həmçinin obyekt tanıma, kənar aşkarlama və şəkil seqmentləşdirilməsi kimi müxtəlif tətbiqlərdə istifadə edilə bilən şəkillərdən xüsusiyyətləri çıxarmaq üçün də istifadə olunur.
Genom Məlumatlarının Təhlili
Biologiyada genom məlumatları çox vaxt çox böyük və mürəkkəb olur. PCA, genom məlumatlarının ölçülülüyünü azaltmaq üçün istifadə olunur və bu da məlumatlardakı nümunələri və korrelyasiyaları aşkar etməyi və təhlil etməyi asanlaşdırır. Bu, xüsusilə genetik tədqiqatlarda və dərmanların hazırlanmasında faydalıdır.
Maliyyə və İqtisadiyyat
PCA portfel risklərinin təhlilində və səhm qiymətlərinin proqnozlaşdırılmasında istifadə olunur. Maliyyə məlumatlarının ölçülərini azaltmaqla təhlil bazara əhəmiyyətli dərəcədə təsir edən amillərə daha çox diqqət yetirə bilər.
Nəticə
Əsas Komponent Təhlili (PCA) statistika və maşın öyrənməsində güclü bir texnikadır. Əhəmiyyətli məlumatları itirmədən məlumatların ölçülülüyünü azaltmaqla, PCA daha səmərəli və interpretativ təhlilə imkan verir. PCA güclü olsa da, onun məhdudiyyətlərini anlamaq vacibdir: yalnız məlumatlar xətti şəkildə strukturlaşdırıldıqda təsirli olur. PCA və onun potensial tətbiqlərini anlamaq bizə böyük, mürəkkəb məlumat dəstlərindən daha dərin məlumatlar çıxarmağa imkan verir və bu da onu müasir məlumat təhlilində vacib bir vasitəyə çevirir.
