Funksiyanın Törəməsinin Yazılması
Pendahuluan
Riyaziyyatda, xüsusən də hesablamada törəmə geniş tətbiq sahələrində mühüm rol oynayan fundamental bir anlayışdır. Törəmələrdən yalnız nəzəri riyaziyyatda deyil, həm də elm, mühəndislik, iqtisadiyyat və bir çox digər sahələrdə istifadə olunur. Bu məqalədə funksiyanın törəməsi ətraflı şəkildə müzakirə ediləcək, onun əsasları, vacib qaydaları və tətbiq nümunələri əhatə olunacaq.
Törəmələrin Əsasları
Törəmələrin tərifi
Funksiyanın törəməsi, funksiyanın müstəqil dəyişəninə nisbətən dəyişmə sürətini təsvir edir. İntuitiv olaraq, törəmə, funksiyanın qrafikinə bir nöqtədə toxunan toxunan xəttin meyli kimi təyin edilə bilər.
Əgər \( y = f(x) \) olarsa, onda \( f \)-nin \( x \)-yə görə ilk törəməsi \( f'(x) \) və ya \( \frac{dy}{dx} \ ilə işarə edilir. Törəmənin formal tərifi aşağıdakı limitlə verilir:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Törəmə Notasiyası
Törəmələrin yazılmasında bir neçə ümumi qeyd var:
1. Leybnits qeydləri: \( \frac{dy}{dx} \)
2. Laqranj notasiyası: \( f'(x) \)
3. Nyutonun qeydi: \( y' \)
4. Euler notasiyası: \( Df(x) \)
Hər bir notasiyanın daha çox istifadə edildiyi spesifik istifadə sahələri və kontekstləri var.
Diferensiallaşdırmada Əsas Qaydalar
Toplama və Çıxma Qaydaları
Əgər \( f(x) \) və \( g(x) \) iki diferensiallana bilən funksiyadırsa, onda:
\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
Vurma Qaydaları
\( u(x) \) və \( v(x) \) iki funksiya üçün:
\[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Bölmə Qaydaları
Əgər \( u(x) \) və \( v(x) \) iki funksiyadırsa və \( v(x) \neq 0 \ olarsa:
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Zəncir qaydası
\( f(u) \) və \( u(g) \) iki funksiyasının tərkibi üçün:
\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Tətbiq Nümunələri
Polinom Funksiyalarının Törəmələri
Tutaq ki, \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). Bu funksiyanın törəməsini tapmaq üçün diferensiasiyanın əsas qaydalarını tətbiq edirik.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1) \]
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Eksponensial və Loqarifmik Funksiyaların Törəmələri
Əgər \( f(x) = e^x \) olarsa, eksponensial funksiyanın törəməsi belədir:
\[ f'(x) = e^x \]
Təbii loqarifm funksiyası üçün \( f(x) = \ln(x) \ ):
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]
Triqonometrik funksiyaların törəmələri
Əsas trigonometrik funksiyalar üçün:
– Əgər \( f(x) = \sin(x) \) olarsa, onda \( f'(x) = \cos(x) \)
– Əgər \( f(x) = \cos(x) \) olarsa, onda \( f'(x) = -\sin(x) \)
– Əgər \( f(x) = \tan(x) \) olarsa, onda \( f'(x) = \sec^2(x) \)
Kompozit Funksiyanın Törəməsi
Tutaq ki, \(f(x) = \sin(2x) \). Zəncir qaydasını tətbiq edə bilərik:
\[ f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Qabaqcıl Törəmələr
İkinci və Sonrakı Törəmələri
İkinci törəmə birinci törəmə funksiyasının törəməsidir. Əgər \( y = f(x) \) olarsa, ikinci törəmə \( f”(x) \) və ya \( \frac{d^2y}{dx^2} \) ilə işarə olunur. Və beləliklə, üçüncü törəmə \( f”'(x) \) və ya \( \frac{d^3y}{dx^3} \) üçün.
Tutaq ki, \(f(x) = x^4 \):
\[ f'(x) = 4x^3 \]
\[ f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
\[ f”'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
\[ f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]
Fizikada Törəmələrin Tətbiqləri
Fizikada sürət və təcillənməni təyin etmək üçün törəmələr tez-tez istifadə olunur. Tutaq ki, √(s(t)√ zamana görə mövqe funksiyasıdır √(t√). Sürət √(v(t)√) mövqenin ilk törəməsidir:
\[ v(t) = s'(t) \]
Təcillənmə (a(t)) sürətin birinci törəməsi və ya mövqenin ikinci törəməsidir:
\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]
Nəticə
Funksiyanın törəməsi hesablamada müxtəlif sahələrdə geniş tətbiq olunan fundamental bir anlayışdır. Törəməni toxunan xəttin meyli kimi intuitiv şəkildə anlamaq, funksiyanın xüsusiyyətləri və davranışı haqqında vacib məlumatlar verir. Zəncir qaydası, hasil qaydası və bölmə qaydası kimi diferensiasiya qaydalarını anlamaq və tətbiq edə bilmək, hesablamanı öyrənən hər kəs üçün vacibdir. Fizikada sadə nümunələr və tətbiqlər vasitəsilə bu məqalə funksiyanın törəməsinin yazılması haqqında hərtərəfli bir anlayış təmin etməyə ümid edir.
