Newton Raphson Kök Tapma Metodu
Pendahuluan
Nyuton-Rafson metodu qeyri-xətti tənliklərin təxmini həllərini tapmaq üçün səmərəli ədədi metoddur. İlk dəfə İsaak Nyuton tərəfindən təqdim edilmiş və daha sonra Cozef Rafson tərəfindən təkmilləşdirilmişdir. Riyaziyyat və hesablamada Nyuton-Rafson metodu real funksiyanın köklərini tapmaq üçün istifadə edilən təkrarlanan metoddur.
Nyuton-Rafson metodunun əsas prinsiplərini, ətraflı addımlarını, müxtəlif hallarda tətbiqini və üstünlüklərini və çatışmazlıqlarını anlamaq üçün bu məqaləni oxumağa davam edin.
Nyuton-Rafson Metodunun Əsas Prinsipləri
Əsasən, Nyuton-Rafson metodu `f(x) = 0` tənliyinin köklərini qiymətləndirməyi hədəfləyir. Bu metod `x0`-un ilkin qiymətləndirilməsi ilə başlayır. Bu nöqtədən etibarən, funksiyanın törəməsi istifadə edilərək köklərin daha yaxşı qiymətləndirilməsi əldə edilir.
Riyazi olaraq, Nyuton-Rafson metodu aşağıdakı düsturla ifadə olunur:
\[ x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
Harada:
– \( x_{n+1} \) növbəti təxmini nöqtədir.
– \( x_n \) cari təxmin edilən nöqtədir.
– \( f(x_n) \) funksiyasının \( x_n \) üzərindəki qiymətidir.
– \( f'(x_n) \) funksiyasının \( x_n \) üzərindəki törəməsinin qiymətidir.
Düstur kompleks funksiyanın xətti yaxınlaşmasına əsaslanır və bu xətti yaxınlaşma cari yaxınlaşma nöqtəsindəki tangens xətti kimi götürülür. Bu tangens xətti daha sonra növbəti iterasiyada kökün daha yaxşı yaxınlaşması olacaq x kəsişməsini təmin edir.
Nyuton-Rafson pillələri
Nyuton-Rafson metodunun əsas mərhələləri aşağıdakılardır:
1. İlkin Qiymətləndirməni Seçin: İlkin dəyər \(x_0 \) ilə başlayın. Seçilən ilkin dəyər bu metodun konvergensiyasına böyük təsir göstərəcək.
2. Funksiyaları və onların törəmələrini qiymətləndirin: \( x_n \ ) nöqtəsində funksiyanın qiymətini və funksiyanın törəmə qiymətini hesablayın.
3. Növbəti Qiymətləndirməni Hesablayın: Növbəti qiymətləndirilmiş dəyəri əldə etmək üçün Nyuton-Rafson düsturundan istifadə edin \( x_{n+1} \).
4. Konvergensiyanı yoxlayın: Aşağıdakı kimi dayandırma meyarından istifadə edərək, \(x_{n+1} \) təxmin edilən dəyərinin faktiki kökə kifayət qədər yaxın olub olmadığını yoxlayın:
– İki iterasiya \( |x_{n+1} – x_n| \) arasındakı mütləq dəyişiklik kiçikdir.
– Sıfıra yaxın təxmini nöqtədə funksiyanın qiyməti kiçikdir \( |f(x_{n+1})| \)
5. Təkrarlayın: Əgər dayandırma meyarları yerinə yetirilmirsə, \( x_n \)-ni \( x_{n+1} \) ilə əvəz edərək 2-ci addıma qayıdın.
Bu təkrarlanan proses kifayət qədər dəqiq bir həll tapılana qədər davam edir.
Nyuton-Rafsonun tətbiq nümunələri
Gəlin bu metodu konkret bir nümunəyə tətbiq edək. Tutaq ki, \(f(x) = x^2 – 2 \) tənliyinin köklərini tapmaq istəyirik.
Addım 1: İlkin Qiymətləndirmə
Tutaq ki, \(x_0 = 1 \) ilə başlayaq.
Addım 2: Funksiyanı və onun törəmələrini qiymətləndirin
\( f(x) = x^2 – 2 \) funksiyası və \( f'(x) = 2x \) funksiyasının törəməsi.
Qiymətləndirmə \(x_0 = 1 \):
– \( f(x_0) = 1^2 – 2 = -1 \)
– \( f'(x_0) = 2 \dəfə 1 = 2 \)
Addım 3: Növbəti Qiymətləndirməni Hesablayın
Nyuton-Rafson düsturundan istifadə edərək:
\[ x_{1} = 1 – \frac{-1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5 \]
Addım 4: Konvergensiyanı yoxlayın
Mütləq dəyişikliyi və funksiya dəyərini yoxlayın:
– \( |x_1 – x_0| = |1.5 – 1| = 0.5 \)
– \( |f(1.5)| = |1.5^2 – 2| = |2.25 – 2| = 0.25 \)
Meyarlar yerinə yetirilmədiyi üçün növbəti iterasiyaya keçirik.
Addım 5: Təkrarlayın
Qiymətləndirmə \(x_1 = 1.5 \):
– \( f(x_1) = 1.5^2 – 2 = 0.25 \)
– \( f'(x_1) = 2 \dəfə 1.5 = 3 \)
Nyuton-Rafson düsturundan yenidən istifadə edərək:
\[x_2 = 1.5 – \frac{0.25}{3} = 1.5 – 0.0833 = 1.4167 \]
Mütləq dəyişikliyi və funksiya dəyərini yoxlayın:
– \( |x_2 – x_1| = |1.4167 – 1.5| = 0.0833 \)
– \( |f(1.4167)| = |1.4167^2 – 2| \təqribən 0.0069 \)
İterasiya kifayət qədər konvergent olmadığı üçün, dayandırma meyarları yerinə yetirilənə qədər davam edirik.
Bu proses konvergensiya əldə olunana qədər davam edəcək.
Nyuton-Rafson metodunun üstünlükləri və çatışmazlıqları
Kelebihan
1. Konvergensiya Sürəti: Nyuton-Rafson metodu kvadratik konvergensiya sürətinə malikdir, yəni kökə yaxınlaşmaq üçün tələb olunan iterasiyaların sayı biseksiya metodu və ya sekant metodu kimi digər metodlarla müqayisədə çox azdır.
2. Dəqiqlik: Bu üsul, ilkin qiymətləndirmə əsl kökə yaxın olduqda, kökləri tapmaqda ümumiyyətlə daha dəqiqdir.
3. Geniş Tətbiq: Həm polinom, həm də qeyri-polinomial müxtəlif növ funksiyalara tətbiq oluna bilər.
Yoxluq
1. İlkin Dəyərlərdən Asılılıq: Son nəticə ilkin qiymətləndirilmiş dəyərdən çox asılıdır. Qiymətləndirmə kökdən uzaqdırsa, metod uğursuz ola bilər və ya bir çox təkrarlama tələb edə bilər.
2. Törəmə Bilinməlidir: Bu metod funksiyanın törəməsini hesablamağı tələb edir ki, bu da bəzi mürəkkəb funksiyalar üçün çətin və ya praktik olmayan ola bilər.
3. Möhkəm deyil: Bu metod həmişə konvergent olmur. Bu metodun uğursuz ola biləcəyi bəzi xüsusi şərtlər mövcuddur, məsələn, funksiyanın kritik nöqtəsi və ya törəməsində əhəmiyyətli bir dəyişiklik.
Nəticə
Nyuton-Rafson metodu ədədi hesablamalarda qeyri-xətti tənliyin köklərini tez və dəqiq tapmağa imkan verən güclü bir vasitədir. Lakin, bütün ədədi metodlar kimi, onun da məhdudiyyətləri və yaxşı işləməyə biləcəyi vəziyyətlər var. Funksiyaların və törəmələrin hərtərəfli başa düşülməsi, eləcə də müvafiq ilkin dəyərlərin seçilməsi bu metoddan uğurla istifadə etmək üçün açardır.
Düzgün başa düşülmə və tətbiq ilə Nyuton-Rafson metodu riyaziyyat və kompüter elmlərindəki müxtəlif kök tapmaq problemlərinin səmərəli həlli ola bilər.
