Ehtimal problemlərini həll etməyin asan yolu
Ehtimal, gündəlik həyata yaxınlığı səbəbindən məktəblərdə tez-tez rast gəlinən riyazi mövzudur: qəlibdə bir ədədin görünmə ehtimalından tutmuş qutudan rəngli topun çıxarılmasına və məlumatlara əsaslanaraq bir hadisənin baş vermə ehtimalına qədər. Təəssüf ki, bir çox şagird ehtimalı "çətin" hesab edir, çünki məsələlər sadə görünür, lakin diqqətlə nəzərdən keçirilmədikdə cavablar səhv ola bilər. Bununla belə, ehtimal məsələlərini həll etməyin kifayət qədər asan və sistemli bir yolu var: əsas anlayışları başa düşmək, məsələnin növünü müəyyən etmək və sonra düzgün strategiyanı seçmək.
Bu məqalədə ehtimal məsələləri üzərində işləyərkən daha sürətli və daha dəqiq olmağınıza kömək edəcək praktik addımlar müzakirə olunacaq.
-
1. Fürsətin əsas ideyasını anlayın
Ümumiyyətlə, \(A\) hadisəsinin ehtimalı belə yazılır:
\[
P(A) = \frac{\text{dəstəkləyən nəticələrin sayı }A}{\text{bütün mümkün nəticələrin sayı}}
\]
Əsas iki şeydədir:
1. Nümunə sahəsi (S): baş verə biləcək bütün mümkün nəticələr.
2. Hadisə (A): verilən suala uyğun gələn nümunə sahəsinin bir hissəsi.
Əgər bütün nəticələr eyni dərəcədə ehtimal olunursa (məsələn, ədalətli zarlar, ədalətli sikkələr), onda yuxarıdakı düstur birbaşa istifadə edilə bilər. Əgər onlar eyni dərəcədə ehtimal olunmursa, ehtimallar adətən digər modellərdən (məsələn, tezlik məlumatları və ya şərti ehtimal) hesablanır.
-
2. Fürsət problemlərini həll etmək üçün sürətli addımlar
Yolunu azmamaq üçün aşağıdakı "işləmə düsturundan" istifadə edin:
1. Nə soruşulduğunu yazın (hansı hadisə üçün soruşulur?)
2. Nümunə sahəsini müəyyənləşdirin (neçə mümkün nəticə var?)
3. Tələb olunan hadisəni dəstəkləyən nəticələri hesablayın.
4. Mənfəətin bölüşdürülməsi ümumi nəticələri dəstəkləyir
5. Kəsri sadələşdirin və məntiqi olduğundan əmin olun (ehtimal 0 ilə 1 arasında olmalıdır)
Əksər səhvlər 2 və 3-cü addımların aydınlaşdırılmaması səbəbindən baş verir.
-
3. Lazım gələrsə, cədvəllərdən, ağac diaqramlarından və ya siyahılardan istifadə edin.
İki və ya daha çox sınaqla bağlı məsələlər üçün (məsələn, qəpiyi iki dəfə çevirmək, kartı iki dəfə çəkmək) vizual metodlar çox faydalıdır.
a) Cədvəl
Sikkələr və zarlar kimi iki sadə dəyişən üçün uyğundur.
b) Ağac diaqramı
Xüsusilə "geri qaytarılma yoxdur" şərti olduqda (obyektlərin sayı dəyişir), addım-addım təcrübələr üçün uyğundur.
c) Nümunə sahəsi üzvlərinin siyahısı
Kiçik nümunə sahələri üçün uyğundur.
Bu şəkildə, təxmin etməyinizə ehtiyac yoxdur.
-
4. Klassik ehtimal sualları və tez həllər
A. Zərlərdə şanslar
Zarların 6 tərəfi var: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Misal: cüt ədədin alınma ehtimalı.
– Nümunə sahəsi \(S = 6\)
– \(A = \{2,4,6\}\) hadisəsi 3-dür
– \(P(A) = 3/6 = 1/2\)
Sürətli bir fənd: həmişə "cəmi 6" əvəzinə "neçə doldurulduğunu" sayın.
-
B. Sikkə üzərində şans
Sikkənin iki tərəfi var: Başlar (A) və Başlar (G).
Misal: sikkə 1 dəfə atıldıqda şəklin çəkilmə ehtimalı.
– Cəmi 2
– Dəstək 1
– Şans \(=1/2\)
İki dəfə atıldıqda:
– Nümunə sahəsi: \(\{AA, AG, GA, GG\}\) cəmi 4
Qısa məsləhət: müstəqil sınaqlar üçün ümumi ehtimal adətən \(2^n\) (sikkələr üçün) və \(6^n\) (zarlar üçün)-dür.
-
C. Topun qutudan çıxarılması ehtimalı (dəyişdirilməklə və dəyişdirilmədən)
Məsələn, bir qutuda 3 qırmızı və 2 mavi kürə var (cəmi 5).
1) Qaytarılma ilə
Topun hər dəfə qaytarılması zamanı 2 dəfə topu götürün. Qırmızı, sonra isə mavi topu götürmə ehtimalı:
– Qırmızı şans: \(3/5\)
– Sonra mavi (geri qaytarıldığı üçün qalır): \(2/5\)
– \(P = (3/5)(2/5)=6/25\)
2) Geri qaytarılma yoxdur
Geri qaytarmadan 2 dəfə götürün. Qırmızı, sonra mavi rəngdə olma ehtimalı:
– İlk qırmızı əmsallar: \(3/5\)
– 4 qalan top, qalan mavi 2 qalır → ikinci mavi ehtimal: \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)
Əsas fərq: əvəzetmə olmadan məxrəc dəyişir, çünki topların ümumi sayı azalır.
-
5. Toplama və tamamlama qaydalarından istifadə edin
A. Toplama qaydası (OR)
Əgər "A və ya B" ehtimalları soruşularsa, istifadə edin:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)
\]
– \(A \fincan B\): A və ya B (və ya hər ikisi)
– \(A \başlıq B\): A və B eyni anda
Sadə nümunə: zar, cüt ədədin və ya 3-ün qatının çıxma ehtimalı.
– Cüt: {2,4,6} → 3
– 3-ün qatları: {3,6} → 2
– Dilimlər (3-ün cüt və qatları): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)
B. Tamamlayıcı (əksinə)
"Baş vermədi"ni saymaq və sonra onu 1-dən çıxmaq çox vaxt daha asandır.
\[
P(A) = 1 – P(A^c)
\]
Misal: sikkə 3 dəfə atıldıqda ən azı bir dəfə "başların" peyda olma ehtimalı.
Bir ədədi 1, 2, 3 dəfə saymaq əvəzinə, onun tamamlayıcısını sayın:
– Tamamlayıcı: heç bir rəqəm yoxdur = bütün rəqəmlər (GGG)
– \(P(\text{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– Beləliklə, \(P(\text{minimum 1 ədəd}) = 1 – 1/8 = 7/8\)
Bu fənd "ən azı bir", "ən azı bir", "ən azı" suallar üçün çox məşhurdur.
-
6. Şərti ehtimallar: əlavə məlumatlara diqqət yetirin
Şərti ehtimal, B hadisəsinin artıq baş verdiyi təqdirdə A hadisəsinin baş vermə ehtimalını ifadə edir:
\[
P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]
Bu tip suallar adətən əlavə məlumat olduqda, məsələn, "qırmızı topun çəkildiyi məlumdur" və ya "seçilmiş şagirdin qız olduğu məlumdur" kimi hallarda ortaya çıxır.
Asan yol:
1. B şərtinə diqqət yetirin (nümunə sahəsinin yalnız B-yə qədər daraldığını fərz edin)
2. B ilə qarşılaşanlardan A ilə də qarşılaşanları sayın.
-
7. Ən çox yayılmış səhvlər
1. Əvəz edilmədikdə nümunə sahəsini dəyişdirməyi unutdum.
2. “Və ya” sözünün səhv şərh edilməsi (bəzən hər ikisi mənasını verir).
3. “Minimum” / “Ən çox” ilə dəqiq danışmamaq; tamamlayıcılardan istifadə etmək daha yaxşıdır.
4. Hadisələrin müstəqil olmadığı halda müstəqil olduqlarını fərz etmək (qayıdış olmadan müstəqil deyillər).
5. Sadələşdirməyin və məntiqi yoxlamayın (ehtimal nəticəsi >1 olmamalıdır).
-
8. Tez bir zamanda peşəkar olmaq üçün məsləhətlər tətbiq edin
– Yazmağa öyrəşin: \(S\), \(A\), çox üzv \(n(S)\), \(n(A)\).
– Ağac diaqramları ilə “iki mərhələli” məsələləri tətbiq edin.
– Tamamlayıcılarla “ən azı bir” sualı məşq edin.
– Cavabı tapdıqdan sonra yoxlayın: məntiqlidirmi? Əgər bir hadisənin ehtimalı “baş vermə ehtimalıdırsa”, onun dəyəri adətən 0-a deyil, 1-ə yaxındır.
-
Bağlanır
Ehtimal məsələlərini həll etmək, ardıcıl olaraq sistematik addımlardan istifadə etsəniz, əslində asandır: nümunə məkanını təyin edin, hadisələri təyin edin və sonra nisbəti hesablayın. Daha mürəkkəb məsələlər üçün cədvəllər və ya ağac diaqramları kimi vizual vasitələrdən istifadə edin və toplama, vurma və tamamlama qaydalarından istifadə edin. Kifayət qədər təcrübə və məsələlərin diqqətlə oxunması ilə ehtimal artıq "hiyləgər" hiss olunmayacaq, əksinə gündəlik hadisələrə yaxın olduğu üçün əslində xoş olan riyaziyyatın bir hissəsinə çevriləcək.
İstəsəniz, dərhal məşq edə bilməyiniz üçün izahları ilə birlikdə ehtimal suallarından 10 nümunə (asandan çətinə doğru) da hazırlaya bilərəm.
