Funksiyalar və Qeyri-funksiyalar: Riyaziyyatda anlayışların anlaşılması
Riyaziyyatda tez-tez dərin anlaşma tələb edən mücərrəd anlayışlarla qarşılaşırıq. Belə fundamental, lakin vacib anlayışlardan biri də "funksiya"dır. Bu anlayış təkcə riyaziyyatda deyil, həm də fizika, kompüter elmləri və iqtisadiyyat kimi müxtəlif sahələrdə mövcuddur. Lakin, funksiyalar və qeyri-funksiyalar arasında fərq qoyularkən tez-tez qarışıqlıq yaranır. Bu məqalədə funksiyanın nə olduğu, onun xüsusiyyətləri və onu qeyri-funksiyalardan necə ayırd etmək barədə ətraflı müzakirə olunacaq.
Funksiya nədir?
Sadə dillə desək, funksiya bir çoxluqdakı hər bir elementi başqa bir çoxluqdakı tam bir elementlə əlaqələndirən bir əlaqədir. Gəlin onun rəsmi tərifinə baxaq:
Funksiyanın Formal Tərifi:
A çoxluğundan B çoxluğuna qədər olan f funksiyası, A-dakı hər bir elementi B-dəki tam bir elementlə əlaqələndirən bir qaydadır. Bu qayda \( f : A \rightarrow B \) kimi yazılır.
Başqa sözlə, əgər A dəstində iki fərqli element varsa, onlar B dəstindəki eyni elementlə əlaqəli olmamalıdır.
Funksiyanın sadə bir nümunəsi insanın bədən istiliyi (domen/A dəsti) və onun Selsi dərəcəsi ilə ölçülməsidir (diapazon/B dəsti). Hər bir insan tək bir bədən istiliyi dəyəri ilə əlaqələndirilir. Beləliklə, bu analogiyada funksiya fərdləri (domen elementlərini) bədən istiliyi dəyərləri (kodomain elementləri) ilə əlaqələndirir.
Funksional Xüsusiyyətlər
Bu konsepsiyanı anlamaq üçün bir əlaqənin funksiya hesab edilməsi üçün yerinə yetirməli olduğu bir neçə spesifik xüsusiyyət var:
1. Çoxluqlar arasındakı əlaqələr:
Bir funksiya domendəki (mənbə dəsti) hər bir elementi kod domenindəki (hədəf dəsti) tam olaraq bir elementlə əlaqələndirməlidir. Əgər domendəki bir element kod domenindəki birdən çox elementlə əlaqələndirilirsə, o zaman bu funksiya deyil.
2. Təklik:
Domendəki element kod domenindəki yalnız bir dəyərlə əlaqələndirilə bilər. Məsələn, əgər f(a) = 3 və f(a) = 5 eyni anda olarsa, onda f funksiya deyil.
3. Domen boş deyil:
Bir funksiyada, domendəki hər bir elementin kod domenində bir qarşılığı olmalıdır, yəni domen boş ola bilməz.
Funksiya deyil
Yuxarıdakı üç xüsusiyyətə cavab verməyən bir əlaqəyə funksiyasız deyilir. Bunu daha yaxşı başa düşmək üçün bəzi konkret nümunələri araşdıraq.
1. Domendəki bir element kod domenindəki birdən çox elementlə əlaqələndirilir:
Misal üçün, təsəvvür edin ki, tələbələrin (sahə) imtahan balları (kodsahə) ilə əlaqəli olduğu bir əlaqəmiz var. Əgər tələbə tək bir imtahanda birdən çox bal toplaya bilirsə (məsələn, eyni imtahanda 75 və 90), bu əlaqə funksiya deyil.
2. Bütün Domen Elementlərinin Cütlüyü Olmur:
Qeyd edildiyi kimi, bir funksiyada domenin bütün elementlərinin kod domenində qarşılığı olmalıdır. Əgər hər hansı bir elementin qarşılığı yoxdursa, onda əlaqə funksiya deyil.
Funksiyanı Anlamaq Niyə Vacibdir?
Bu funksiyaların dərindən başa düşülməsi yalnız təmiz riyaziyyatda deyil, həm də digər müxtəlif sahələrdə tətbiqlərdə vacibdir:
1. Kompüter Elmləri:
Funksiyalar proqramlaşdırmanın əsasını təşkil edir, strukturlaşdırılmış alqoritmlər qurmaq üçün istifadə etdiyimiz vasitələrdir. Funksiyaların tətbiqi bizə daha modulyar və daha asan başa düşülən kod yazmağa imkan verir.
2. Fizika:
Bir çox təbii sabitlər və fiziki qanunlar funksiyalar baxımından ifadə olunur. Məsələn, Nyutonun soyutma qanunu temperaturun zamana nisbətən funksiyası kimi ifadə edilə bilər.
3. İqtisadiyyat:
Funksiyalar iqtisadi modellərdə gəlir və istehlak kimi müxtəlif dəyişənlər arasındakı əlaqəni proqnozlaşdırmaq üçün istifadə olunur.
Funksiya Təmsilçiliyi
Funksiyalar ehtiyaclardan və kontekstdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təmsil oluna bilər:
1. Cədvəl:
Funksiyalar domen və kodomin elementlərinin cütlərini göstərən cədvəllərlə təmsil oluna bilər. Məsələn, gündəlik temperaturu (domen) və satılan dondurma konuslarının sayını (kodomen) göstərən cədvəl.
2. Qrafik:
Funksiya qrafikləri funksiyaları təmsil etməyin ən təsirli yollarından biridir. Qrafikdə domen çox vaxt x oxu, kod domeni isə y oxu ilə işarələnir. Funksiya şaquli xətt testindən keçən bir qrafikdir, yəni hər bir şaquli xətt qrafiklə tam bir nöqtədə kəsişir.
3. Tənlik:
Funksiyanın cəbri forması riyaziyyatda funksiyanı ifadə etməyin ən çox yayılmış yoludur. Məsələn, xətti funksiya \(f(x) = mx + c \) və ya kvadrat funksiya \(f(x) = ax^2 + bx + c \).
Funksiyalar və Qeyri-funksiyalar nümunələri
Funksiyalar haqqında anlayışımızı kristallaşdırmaq üçün bəzi nümunələrə baxaq:
Nümunə 1:
– Funksiya: A = {1, 2, 3} və B = {4, 5, 6} çoxluğumuz var. \( f \) funksiyası \( f(1) = 4 \), \( f(2) = 5 \) və \( f(3) = 6 \) olduğunu təyin edir.
– Funksiya Deyil: Əgər \( f \), \( f(1) = 4 \) və \( f(1) = 5 \) olduğunu təyin edirsə, bu əlaqə açıq şəkildə funksiya deyil, çünki domendəki bir element kod domenindəki birdən çox elementə bağlıdır.
Nümunə 2:
– Funksiya: Tələbə (domen) onun test balı (koddomen) ilə əlaqələndirilir.
– Funksiya Deyil: Eyni tələbənin tək bir imtahanda iki fərqli balı ola bilməz. Əgər iki bal varsa, əlaqə funksiya deyil.
Nəticə
Yuxarıdakı izahata əsasən, funksiyanın riyaziyyatda müxtəlif fənlərdə çoxsaylı tətbiqləri olan fundamental bir anlayış olduğunu görə bilərik. Funksiya domen çoxluğundakı hər bir elementi kod domen çoxluğundakı tam bir elementlə əlaqələndirir. Əgər bir əlaqə bu xüsusiyyətləri ödəmirsə, bu, funksiya deyil. Funksiya ilə qeyri-funksiya arasındakı fərqi anlamaq, gələcək riyazi tədqiqatlar və gündəlik həyatda praktik tətbiqlər üçün möhkəm təməl yaradır.
