Koordinat Sistemində İki Ölçülü Vektorları Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Vektor həm böyüklüyünə, həm də istiqamətinə malik olan bir kəmiyyətdir. Vektorlar müxtəlif riyaziyyat və fizika mövzularında müxtəlif hadisələri təmsil etmək üçün tez-tez istifadə olunur. Bu məqalədə koordinat sistemindəki ikiölçülü vektorların nümunələrini müzakirə edəcəyik.
Koordinat Sistemlərində Vektorların Əsas Konsepsiyaları
İkiölçülü koordinat sistemindəki vektor \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) kimi təmsil oluna bilər, burada \(a_1\) vektorun x-komponenti və \(a_2\) vektorun y-komponentidir. Vektor iki komponentə, yəni x-komponentinə və y-komponentinə ayrıla bilər.
Vektor Toplama və Çıxma
\(\vec{A} = (a_1, a_2)\) və \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) iki vektorun toplanması belədir:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Azalma isə:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Skalyar Vurma
Əgər \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) və \(k\) skalyar ədəddirsə, onda \(k\vec{A}\) aşağıdakı kimidir:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Vektor Böyüklüyü
\(\vec{A} = (a_1, a_2)\) vektorunun böyüklüyü və ya uzunluğu:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Vahid Vektor
Vahid vektor uzunluğu bir vahid olan vektordur. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) vahid vektoru belədir:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Nümunə Suallar və Müzakirə
Sual 1: Vektorların toplanması və çıxılması
İki vektor aşağıdakı kimi verilir: \(\vec{A} = (3, 4)\) və \(\vec{B} = (1, 2)\). \(\vec{A} + \vec{B}\) və \(\vec{A} – \vec{B}\) hasilini tapın.
Müzakirə:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Sual 2: Skalyar Vurma
\(\vec{C} = (2, -3)\) vektoru verildikdə, \(3\vec{C}\) və \(-2\vec{C}\) hesablayın.
Müzakirə:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Sual 3: Vektor Böyüklüyü
\(\vec{D} = (5, 12)\) vektorunun böyüklüyünü hesablayın.
Müzakirə:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Sual 4: Vahid Vektorlar
\(\vec{E} = (4, 3)\) vektorunun vahid vektorunu tapın.
Müzakirə:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Sual 5: Vektorların mövqeyi və məsafəsi
İkiölçülü koordinat müstəvisində iki nöqtə P(2, 3) və Q(5, 7)-dir. P nöqtəsindən Q nöqtəsinə qədər olan mövqe vektorunu və onlar arasındakı məsafəni təyin edin.
Müzakirə:
P-dən Q-yə mövqe vektoru belədir:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
P və Q nöqtələri arasındakı məsafə belədir:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Sual 6: Nöqtəli Məhsul Nəticəsi
Əgər \(\vec{F} = (-3, 4)\) və \(\vec{G} = (2, 1)\) olarsa, \(\vec{F} \cdot \vec{G}\)-nin nöqtə hasilini hesablayın.
Müzakirə:
İki vektorun nöqtə hasili belədir:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Sual 7: İki vektor arasındakı bucaq
Əgər \(\vec{H} = (7, -4)\) və \(\vec{I} = (3, 0)\) olarsa, iki vektor arasındakı bucağı təyin edin.
Müzakirə:
İki vektor arasındakı bucağı təyin etmək üçün düsturdan istifadə edirik:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Əvvəlcə nöqtə hasilini hesablayın \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Daha sonra, \(\vec{H}\) və \(\vec{I}\) böyüklüklərini hesablayın:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Bu dəyərləri düstura daxil edin:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Beləliklə, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
Sual 8: Vektor proyeksiyası
\(\vec{J} = (2, 1)\) və \(\vec{K} = (-1, 3)\) vektorları üçün \(\vec{J}\)-nin \(\vec{K}\) üzərindəki proyeksiyasını hesablayın.
Müzakirə:
\(\vec{J}\)-nin \(\vec{K}\) üzərindəki proyeksiyası belədir:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \sağ) \vec{K}
\]
Əvvəlcə nöqtə hasilini hesablayın \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Onda, \(\vec{K}\)-nin böyüklüyü:
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Beləliklə,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Formula daxil edin:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Bunlar koordinat sistemindəki ikiölçülü vektorlarla əlaqəli məsələlərə və müzakirələrə nümunələrdir. Vektorların yaxşı başa düşülməsi riyaziyyat, fizika və mühəndislik sahələrində bir çox tətbiqlərdə faydalı ola bilər. Müxtəlif nümunələrlə təcrübə aparmaq bu anlayışı daha dərindən başa düşməyə və onun müxtəlif vəziyyətlərdə effektiv şəkildə tətbiq olunmasına imkan verə bilər.
