Riyazi Dönməni Müzakirə Edən Nümunə Məsələləri
Pendahuluan
Fırlanma riyaziyyatda, xüsusən də həndəsədə tez-tez rast gəlinən həndəsi çevrilmədir. Fırlanma, obyektin müəyyən bir nöqtə (fırlanma mərkəzi) ətrafında müəyyən bir bucaq altında saat əqrəbi istiqamətində və ya əks istiqamətdə fırlanmasını əhatə edir. Fırlanma anlayışı kompüter qrafikası, fizika və mühəndislik kimi sahələrdə çox vacibdir. Bu məqalədə riyaziyyatda fırlanma ilə bağlı müxtəlif nümunələr və müzakirələr araşdırılacaq.
Rotasiyanı Anlamaq
Fırlanma, cismin hər nöqtəsini fırlanma mərkəzi adlanan sabit bir nöqtə ətrafında müəyyən bir istiqamətdə müəyyən bir bucaq altında fırlatmaqla hərəkət etdirən bir çevrilmədir. θ bucağı və fırlanma mərkəzi (a, b) olan fırlanma üçün ümumi qeyd R_(a, b)(θ) kimi yazıla bilər.
Fırlanma mərkəzi başlanğıc nöqtəsində (0, 0) olmaqla θ dərəcə fırlanan P(x, y) nöqtəsi üçün, fırlanmadan sonra P'(x', y')-nin yeni koordinatları aşağıdakı düsturla əldə ediləcək:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Gəlin fırlanma problemlərinin bəzi nümunələrini və onların müzakirələrini davam etdirək.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Nümunə Sual 1
Sual: A(3, 4) nöqtəsini saat əqrəbinin əksinə 90 dərəcə fırlatdıqdan sonra onun fırlanma mərkəzi (0, 0) başlanğıc nöqtəsində olmaqla yeni koordinatlarını təyin edin.
Müzakirə: Saat əqrəbinin əksinə 90 dərəcə bucaq altında fırlanma düsturundan istifadə:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Beləliklə, fırlanmadan sonra A'-nın yeni koordinatları (-4, 3)-dür.
Nümunə Sual 2
Sual: B(2, -1) nöqtəsi saat əqrəbi istiqamətində 180 dərəcə fırlanır, fırlanma mərkəzi isə başlanğıc nöqtəsində (0, 0) qalır. Fırlanmadan sonra B nöqtəsinin yeni koordinatlarını təyin edin.
Müzakirə: Saat əqrəbi istiqamətində və ya əksinə 180 dərəcə fırlanma eyni nəticəni verir, yəni nöqtənin koordinatları (-x, -y) olaraq dəyişir.
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Beləliklə, B'-nin yeni koordinatları (-2, 1)-dir.
Nümunə Sual 3
Sual: C(-3, 5) nöqtəsi fırlanma mərkəzi başlanğıc nöqtəsində (0, 0) olmaqla saat əqrəbinin əksinə 270 dərəcə fırlanır. Fırlanmadan sonra C nöqtəsini təyin edin.
Müzakirə: Saat əqrəbinin əksinə 270 dərəcə fırlanma 90 dərəcə saat əqrəbi istiqamətində fırlanmaya bərabərdir.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Beləliklə, fırlanmadan sonra C'-nin yeni koordinatları (5, -3)-dür.
Nümunə Sual 4
Sual: D(5, 5) nöqtəsini fırlanma mərkəzi başlanğıc nöqtəsində (0, 0) olmaqla 45 dərəcə fırlatdıqdan sonra onun yeni koordinatlarını təyin edin.
Müzakirə: 45 dərəcəlik bucaq altında fırlanma düsturundan istifadə:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Beləliklə, fırlanmadan sonra D'-nin yeni koordinatları (0, 5√2)-dir.
Başlanğıc nöqtəsində olmayan fırlanma mərkəzi ilə fırlanma
Fırlanmalar həmişə başlanğıc nöqtəsi ətrafında aparılmır. Məsələn, fırlanma mərkəzi (h, k) olan bir nöqtəni fırlatmaq istədiyimizi düşünək. Bunu etmək üçün koordinatları aşağıdakı kimi tənzimləməliyik:
1. Nöqtəni (h, k) başlanğıc nöqtəsi olacaq şəkildə tərcümə edin.
2. Fırlanma düsturundan istifadə edin.
3. Orijinal vəziyyətinə qaytarın.
Nümunə Sual 5
Sual: E(5, 7) nöqtəsi fırlanma mərkəzi (2, 3) nöqtəsində olmaqla saat əqrəbinin əksinə 90 dərəcə fırlanır. Fırlanmadan sonra E nöqtəsinin yeni koordinatlarını təyin edin.
Müzakirə:
1. E nöqtəsini fırlanma mərkəzinə (2, 3) nisbətən başlanğıc nöqtəsinə çevirin:
– Yeni nöqtə E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Yeni nöqtə ətrafında saat əqrəbinin əksinə 90 dərəcə fırladın:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Beləliklə, fırlanmadan sonrakı koordinatlar (-4, 3)-dür.
3. Fırlanma mərkəzinə nisbətən orijinal vəziyyətə geri tərcümə (2, 3):
– Son nöqtə E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Beləliklə, fırlanmadan sonra E nöqtəsinin yeni koordinatları (-2, 6)-dır.
Nəticə
Riyazi fırlanmaların təhlili və başa düşülməsi müxtəlif tətbiqlərdə çox vacibdir. Yuxarıdakı nümunələr və müzakirələr vasitəsilə oxucuların fırlanma düsturlarının necə işlədiyini və onların müxtəlif vəziyyətlərə necə tətbiq oluna biləcəyini başa düşmələri gözlənilir. Bu çalışma yalnız fundamental riyaziyyatı möhkəmləndirməklə yanaşı, həndəsi çevrilmələri əhatə edən digər sahələrdə də faydalıdır.
