Paraleloqram metodundan istifadə edərək iki vektorun toplanması ilə bağlı nümunə sual
Vektor toplama fizika və riyaziyyatda vacib bir anlayışdır və tez-tez təbii hadisələri və gündəlik həyat problemlərini təsvir etmək üçün istifadə olunur. İki vektor toplamağın bir neçə üsulu var, bunlardan biri paraleloqram metodudur. Bu üsul təkcə intuitiv deyil, həm də iki vektorun necə birləşərək nəticədə yaranan vektoru əmələ gətirdiyini güclü şəkildə vizuallaşdırır. Bu məqalədə paraleloqram metodundan istifadə edərək vektor toplamasının bir neçə nümunəsinə və onların həllinə baxacağıq.
Vektor nədir?
Nümunə məsələlərə keçməzdən əvvəl, vektorun əsas tərifini başa düşməliyik. Vektor həm böyüklüyünə (uzunluğuna), həm də istiqamətinə malik olan bir kəmiyyətdir. Vektorların klassik nümunələrinə sürət, təcil, qüvvə və yerdəyişmə daxildir. Vektor Dekart koordinatlarında komponentləri (i, j, k) və ya uzunluğu və istiqaməti (bucağı) kimi təmsil oluna bilər.
Paraleloqram Metodu
Paraleloqram metodu iki vektoru toplamağın bir yoludur. Bu metodda iki vektoru paraleloqramın iki tərəfi kimi təmsil edirik. Nəticədə yaranan vektor, iki vektorun başlanğıc nöqtəsindən başlayaraq paraleloqramın diaqonalıdır. Riyazi olaraq, əgər iki vektorumuz \(\vec{A}\) və \(\vec{B}\) olarsa, nəticə \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \)-dir.
Paraleloqram metodundan istifadə üçün addım-addım metod aşağıdakı kimidir:
1. Başlanğıc nöqtəsindən \(\vec{A}\) vektorunu çəkin.
2. \(\vec{A}\) vektorunun ucundan \(\vec{B}\) vektorunu çəkin.
3. Başlanğıc nöqtəsindən \(\vec{A}\) vektoruna paralel bir xətt çəkin.
4. \(\vec{B}\) vektorunun ucundan \(\vec{A}\) vektoruna paralel bir xətt çəkin.
5. Başlanğıc nöqtəsindən əks küncə diaqonal çəkin ki, nəticədə \(\vec{R}\) vektoru alınsın.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Sual 1
Tutaq ki, iki vektorumuz var \(\vec{A}\) və \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) 5 vahid uzunluğuna (böyüklüyünə) və 0° istiqamətinə (və ya müsbət x oxu boyunca) malikdir,
– \(\vec{B}\) 3 vahid uzunluğuna və 90° istiqamətinə (və ya müsbət y oxu boyunca) malikdir.
Paraleloqram metodundan istifadə edərək bu iki vektorun toplanması nəticəsində əldə edilən nəticə nə qədərdir?
Müzakirə:
1. Müsbət x oxu boyunca 5 vahid uzunluğunda \(\vec{A}\) vektorunu çəkin.
2. \(\vec{A}\) vektorunun ucundan, \(\vec{B}\) vektorunu müsbət y oxu boyunca 3 vahid uzunluğunda çəkin.
3. \(\vec{A}\) başlanğıc nöqtəsindən \(\vec{B}\) nöqtəsinə paralel bir xətt çəkin.
4. \(\vec{B}\)-nin sonundan \(\vec{A}\)-yə paralel bir xətt çəkin.
5. Nəticə, nəticədə yaranan vektor \(\vec{R}\) olan diaqonalı olan paraleloqramdır.
\(\vec{A}\) və \(\vec{B}\) bir-birinə perpendikulyar olduğundan, nəticədə yaranan vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə edə bilərik:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \təqribən 5.83 \]
Nəticədə yaranan vektorun istiqaməti triqonometriya istifadə edilərək hesablana bilər. Əgər \(\theta\) nəticələnən vektorla \(\vec{A}\ arasındakı bucaqdırsa:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
beləliklə:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Beləliklə, nəticədə yaranan \(\vec{R}\) vektorunun böyüklüyü təxminən 5.83 vahid, istiqaməti isə \(\vec{A}\) nöqtəsindən təxminən 30.96°-dir.
Sual 2
İki vektor \(\vec{C}\) və \(\vec{D}\) aşağıdakı kimi verilir:
– 4 vahid uzunluğunda və 45° istiqamətli \(\vec{C}\).
– 6 vahid uzunluğunda və 120° istiqamətli \(\vec{D}\).
İki vektorun toplamasından nəticədə yaranan \(\vec{R}\) vektorunu təyin edin.
Müzakirə:
Bir-birinə perpendikulyar olmayan və ya fərqli formalarda olan iki vektoru toplamaq üçün Dekart komponentlərindən istifadə edə bilərsiniz.
1. \(\vec{C}\) və \(\vec{D}\)-ni x və y komponentlərinə ayırın.
\(\vec{C}\) üçün:
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \təxminən 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \təxminən 2.83 \]
\(\vec{D}\) üçün:
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \təxminən 5.20 \]
2. Hər iki vektorun x və y komponentlərini toplayın:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Nəticədə yaranan vektorun böyüklüyünü və istiqamətini hesablayın \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \təqribən 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
Nəticə mənfi olduğundan, düzgün kvadrant sistemindəki bucağı əldə etmək üçün 180° əlavə edirik:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
Beləliklə, nəticədə yaranan \(\vec{R}\) vektorunun böyüklüyü təxminən 8.03 vahid, istiqaməti isə təxminən 271.93°-dir və ya dördüncü kvadrantdakı mənfi x oxundan təxminən 91.93°-yə bərabərdir.
Bağlanır
Paraleloqram metodu iki vektoru toplamaq üçün təsirli və vizual bir yoldur. Bu metod sadə vektorlar üçün sadə görünsə də, daha mürəkkəb vektorlar üçün dəqiq nəticələr əldə etmək üçün tez-tez Dekart komponentlərindən və daha inkişaf etmiş cəbri üsullarından istifadə etməli olduğumuzu başa düşmək vacibdir. Ümid edirik ki, yuxarıdakı nümunələr bu metodun müxtəlif vəziyyətlərdə necə tətbiq oluna biləcəyi barədə aydın bir təsəvvür yaradır.
