Matrislərdən İstifadə Edərək Transformasiya Kompozisiyasını Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Həndəsi çevrilmələr riyaziyyatda, xüsusən də həndəsə və xətti cəbrdə vacib bir mövzudur. Bu çevrilmələrə tərcümələr, fırlanmalar, əks olunmalar və genişlənmələr daxil ola bilər. Bu məqalədə müxtəlif çevrilmələrin tərkibinin matrislərdən istifadə edərək necə təmsil oluna və həll edilə biləcəyini araşdıracağıq. Həmçinin nümunə məsələlər və həllər təqdim edəcəyik.
1. Matrislərdən istifadə edərək transformasiyaya giriş
Həndəsi çevrilmələr matrislərlə təmsil oluna bilər. Məsələn, fırlanma, tərcümə, əks olunma və genişlənmə çevrilmələri matris şəklində aşağıdakı kimi tərtib edilə bilər:
1. Tərcümə
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Dönmə
\[
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\]
3. X oxu haqqında düşüncə
\[
\text{Reflection X} = \begin{pmatrix} 1 və 0 \\ 0 və -1 \end{pmatrix}
\]
4. Genişləndirmə (böyütmə/miqyaslama)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Matrislərlə Çevrilmələrin Tərkibi
Transformasiya tərkibi, iki və ya daha çox transformasiyanın bir obyektə ardıcıl tətbiqidir. Matrislərdən istifadə edərək transformasiya tərkibini hesablamaq üçün sadəcə transformasiyaları təmsil edən matrisləri vururuq.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Soal
P(2, 3) nöqtəsi verilmişdirsə, aşağıdakı çevrilmənin nəticəsini tapın:
1. Saat əqrəbi istiqamətində fırlanma (CW)
2. 2 miqyas faktoru ilə dilatasiya
3. (1, -2)-nin tərcüməsi
Müzakirə
1. Fırlanma \(90^\circ\) CW
\(90^\circ\)-ün saat əqrəbi istiqamətində fırlanması üçün matris:
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
P nöqtəsində fırlanma transformasiyasının tətbiqi:
\[
\begin{pmatrix} 0 və 1 \\ -1 və 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Fırlanma çevrilməsindən sonra P nöqtəsi P'(3, -2)-dir.
2. 2 miqyas faktoru ilə dilatasiya
Ölçü faktoru 2 olan dilatasiya üçün matris:
\[
\begin{pmatrix} 2 və 0 \\ 0 və 2 \end{pmatrix}
\]
P'(3, -2) nöqtəsində dilatasiya transformasiyasının tətbiqi:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Dilatasiya çevrilməsindən sonra P' nöqtəsi P”(6, -4)-dür.
3. (1, -2)-nin tərcüməsi
Tərcümə əməliyyatları aşağıdakılardır:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
P”(6, -4) nöqtəsində tərcümə transformasiyasının tətbiqi:
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
Beləliklə, bütün çevrilmələr tətbiq edildikdən sonra son nöqtə P(7, -6)-dır.
3. Transformasiya Tərkibinin Hesablanması
Əlavə Suallar
Q(1, 2) nöqtəsi və aşağıdakı çevrilmə verilmişdir:
1. X oxu haqqında düşüncə.
2. Saat əqrəbi istiqamətində fırlanma (CW).
Müzakirə
1. X oxu haqqında düşüncə
X oxu ətrafında əks olunma matrisi:
\[
\begin{pmatrix} 1 və 0 \\ 0 və -1 \end{pmatrix}
\]
Q nöqtəsində əks etdirmə transformasiyasının tətbiqi:
\[
\begin{pmatrix} 1 və 0 \\ 0 və -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Əks çevrilməsindən sonra Q nöqtəsi Q'(1, -2)-dir.
2. Fırlanma \(180^\circ\) CW
Saat əqrəbi istiqamətində \(180^\circ\) fırlanma matrisası:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Q'(1, -2) nöqtəsində fırlanma transformasiyasının \(180^\circ\) tətbiqi:
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Beləliklə, bütün çevrilmələr tətbiq edildikdən sonra son nöqtə Q(-1, 2)-dir.
Bağlanır
Matrislərdən istifadə edərək transformasiya kompozisiya metodu həndəsi çevrilmələri sadələşdirmək və sistematik şəkildə hesablamaq üçün çox faydalıdır. Yuxarıdakı addımları izləməklə müxtəlif növ transformasiyaları asanlıqla başa düşə və tək bir nöqtəyə və ya digər həndəsi obyektə tətbiq edə bilərik. Matrislərdən transformasiyalarda istifadə etməyi öyrənmək, onları fizika, kompüter qrafikası və digər sahələrdə tətbiq etməyi də asanlaşdırır.
