Elliptik Konik Kəsikləri Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Pendahuluan
Riyaziyyat insan həyatının müxtəlif aspektlərində mühüm rol oynayan fundamental bir elmdir. Riyaziyyatda xüsusilə çətin mövzulardan biri həndəsə, xüsusən də konus kəsikləridir. Bu məqalədə biz belə konus kəsiklərindən birini - ellips haqqında danışacağıq. Bu məqalədə nümunə məsələlər və ellipslərin hərtərəfli müzakirəsi təqdim olunacaq ki, bu da şagirdlərin bu mövzunu daha dərindən anlamalarına kömək edəcək.
Ellipsin tərifi və xüsusiyyətləri
Nümunə suallarına keçməzdən əvvəl, əvvəlcə ellipsin nə olduğunu anlamaq faydalıdır. Ellips, iki sabit nöqtədən (fokuslarından) məsafələrinin cəmi sabit olan bir müstəvidəki bütün nöqtələrin toplusudur. Bu iki sabit nöqtə ellipsin fokusları adlanır (F1 və F2).
Cəbri formada ellips ümumi tənliyi ilə təsvir edilə bilər:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
burada \(a \) ellipsin mərkəzindən əsas oxun ən uzaq nöqtəsinə qədər olan məsafədir və \(b \) ellipsin mərkəzindən köməkçi oxun ən uzaq nöqtəsinə qədər olan məsafədir.
Nümunə Suallar və Ellipslərin Müzakirəsi
Sual 1:
Ellipsin tənliyi \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\-dir. Əsas oxun uzunluğunu, köməkçi oxun uzunluğunu və fokusların koordinatlarını təyin edin.
Müzakirə:
Verilmiş ellipsin tənliyi \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)-dir.
1. Əsas və köməkçi oxun uzunluğunu təyin edin:
\[ a^2 = 25 \Sağ ox a = \sqrt{25} = 5 \]
\[ b^2 = 9 \Sağ ox b = \sqrt{9} = 3 \]
Beləliklə, əsas oxun uzunluğu \(= 2a = 2(5) = 10\).
Köməkçi oxun uzunluğu \(= 2b = 2(3) = 6\).
2. Fokus koordinatlarını təyin edin:
Ellipsin fokusu, \(\sqrt{a^2 – b^2}\) mərkəzindən bir məsafədə əsas ox üzərində yerləşir.
\[ c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \]
Bu ellipsin əsas oxu x oxu olduğundan, fokus koordinatları belədir:
\( (c, 0) \) və \( (-c, 0) \) və ya \( (4, 0) \) və \( (-4, 0) \).
Sual 2:
Mərkəzi 12, köməkçi ox uzunluğu isə 8 olan, mərkəzi 1(0, 0)\) nöqtəsində yerləşən bir ellips verilmişdir. Ellipsin tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
1. Əsas oxun uzunluğu \( 2a = 12 \ ) verildikdə, onda:
\[ a = \frac{12}{2} = 6 \]
2. Köməkçi oxun uzunluğu \( 2b = 8 \ ) verildikdə, onda:
\[ b = \frac{8}{2} = 4 \]
Mərkəzi √(0, 0)√ nöqtəsində və x oxu üzərində əsas oxu olan ellipsin tənliyi belədir:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Tənliyə \( a \) və \( b \) əvəz edin:
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \]
Beləliklə, ellipsin tənliyi belədir:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \]
Sual 3:
Ellipsin ekssentrisitetini təyin edin \(\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1\).
Müzakirə:
Ellipsin eksentrisiteti (\( e \)) aşağıdakı tənliklə verilir:
\[ e = \frac{c}{a} \]
burada \( c = \sqrt{a^2 – b^2} \).
Ellips tənliyindən aşağıdakıları əldə edirik:
\[ a^2 = 49 \Sağ ox a = 7 \]
\[ b^2 = 36 \Sağ ox b = 6 \]
İndi isə \(c\) tapırıq:
\[ c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 36} = \sqrt{13} \]
Ekssentriklik (\( e \)):
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Beləliklə, ellipsin eksentrisiteti aşağıdakı kimidir:
\[ e = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Sual 4:
Əgər ellipsin iki fokus nöqtəsi √(-5, 0)√) və √((5, 0)√) nöqtələrində yerləşirsə və ellipsin əsas oxunun uzunluğu 12-dirsə, ellipsin tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
1. \( a \)-ni təyin edin:
Panmasn g əsas oxu 12-dir, onda \(2a = 12 \).
Beləliklə, \( a = \frac{12}{2} = 6 \).
2. \( c \)-ni təyin edin:
İki fokus nöqtəsi \( (-5, 0) \) və \( (5, 0) \)-dir, onda:
\[ c = 5 \]
3. \(b \)-ni təyin edin:
\( c = \sqrt{a^2 – b^2} \) əlaqəsindən istifadə edin:
\[ 5 = \sqrt{6^2 – b^2} \]
\[ 25 = 36 – b^2 \]
\[ b^2 = 36 – 25 \]
\[ b^2 = 11 \]
4. Ellipsin tənliyini qaytarın:
Ellipsin tənliyi belədir:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
\( a \) və \( b \)-i əvəz etməklə:
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{\sqrt{11}^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Beləliklə, ellipsin tənliyi belədir:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Bağlanır
Yuxarıdakı problemlərin müzakirəsi zamanı ellipslərin anlaşılmasının təkcə onların tənliklərini və qrafiklərini öyrənməkdən daha çox şey tələb etdiyini, həm də ellipslərin xüsusiyyətlərinin və elementlərinin bir-biri ilə necə əlaqəli olduğunu öyrənməyi özündə ehtiva etdiyini görə bilərik. Bu materialın mənimsənilməsi, şübhəsiz ki, fizika, astronomiya və digər mühəndislik sahələri kimi müxtəlif tətbiq sahələrində çox faydalı olacaqdır. Ümid edirik ki, bu nümunə məsələləri və müzakirələr vasitəsilə elliptik konus kəsiklərinin əsas anlayışlarını və tətbiqlərini daha yaxşı başa düşə bilərsiniz.
Bu məqalə ellipsləri daha dərindən anlamaq ümidi ilə yazılıb. Məşq etməyə davam edin və bacarıq və biliklərinizi təkmilləşdirmək üçün daha çox əlaqəli məsələləri araşdırmaqdan çəkinməyin!
