Nümunə suallar və konik kəsiklərə toxunanların müzakirəsi
Pendahuluan
Konik kəsik, müstəvinin dipolyar konusla kəsişməsindən yaranan əyridir. Bu əyrilərə dairələr, ellipslər, parabola və hiperbola daxildir. Konik kəsiklərin anlaşılmasında vacib mövzulardan biri toxunan xəttdir. Konik kəsiyə toxunan xətt, konik əyriyə yalnız bir nöqtədə toxunan xəttdir. Bu məqalədə bir neçə nümunə məsələsi və konik kəsiklərə toxunan xətt müzakirə olunacaq.
Dairəyə toxunan
Dairə ən sadə formaya və mükəmməl simmetriyaya malik konusvari kəsikdir. Gəlin dairəyə toxunanlar haqqında nümunə məsələdən başlayaq.
Nümunə Sual 1
\(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) tənliyi ilə dairə verilmişdir. Dairənin üzərindəki \((5, -3)\) nöqtəsindəki toxunan xəttin tənliyini təyin edin.
Müzakirə
Çevrənin ümumi tənliyi \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \)-dir, bu halda \( (h, k) \) dairənin mərkəzi, \( r \) isə radiusdur. Bu məsələdə, \(h, k) \) dairəsinin mərkəzi \((2, -3) \) və radius \( r = \sqrt{25} = 5 \)-dir.
Çevrənin üzərindəki \((x_1, y_1)\) nöqtəsindəki toxunan xətt aşağıdakı düsturla tapıla bilər:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Məlum dəyərləri daxil edin:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
Tangens xəttinin tənliyi \(x = \frac{31}{3}\)-dir, lakin bu metodda bir xəta var, çünki \((5, -3)\) nöqtəsi açıq-aydın dairənin üzərindəki bir nöqtədir. Buna görə də, biz ənənəvi metoddan istifadə edərək, tangens xəttinin mailliyini bu konkret nöqtədə əvəz edirik:
Tangens nöqtəsi, \((5, -3)\), onda radius xəttinin qradiyenti (m) \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\), burada tangens xəttinin qradiyenti əvvəlki şaquli tangens üçün müəyyən edilməmiş olur.
Ellipsə toxunan xətt
Ellips iki simmetriya oxuna malik konus kəsiyidir: böyük (uzun) ox və kiçik (qısa) ox. Ellipslərlə bağlı bəzi məsələlərə nümunələr.
Nümunə Sual 2
\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\ tənliyi ilə ellips verilmişdir. Ellipsin üzərindəki \((2, \frac{3}{2})\) nöqtəsindəki toxunan xəttin tənliyini təyin edin.
Müzakirə
\(x_1, y_1)\) nöqtəsində \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) ellipsinə toxunan xəttin tənliyi belədir:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\(a = 4\) və \(b = 3\) ilə, \(a\), \(b\) və \((2, \frac{3}{2})\ nöqtələrinin qiymətlərini əvəz edin:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Kəsrləri aradan qaldırmaq üçün bütün tənliyi 8-ə vurun:
\[x + 4y = 8 \]
Beləliklə, ellipsə toxunan xəttin tənliyi \(x + 4y = 8 \)-dir.
Parabola toxunan xətt
Parabola bir simmetriya oxu və bir təpəsi olan konus kəsiyidir. Parabolalarla bağlı bəzi məsələlərə nümunələr.
Nümunə Sual 3
y^2 = 4x tənliyi ilə parabola verilmişdir. Parabolanın üzərindəki y^2 nöqtəsindəki toxunan xəttin tənliyini təyin edin.
Müzakirə
y^2 = 4ax parabolasına toxunan xəttin y^2 nöqtəsindəki tənliyi belədir:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Parabola tənliyindən \(y^2 = 4x \), \(a = 1 \) olduğu üçün \(4a = 4 \) alırıq. \(a \) qiymətini və \((1, 2)\ nöqtəsini əvəz edin:
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
y = x + 1
Beləliklə, parabola toxunan xəttin tənliyi \( y = x + 1 \)-dir.
Hiperbola toxunan xətt
Hiperbola iki budaqlı və iki asimptotlu konus kəsiyidir. Hiperbolalarla bağlı bəzi məsələlərə nümunələr.
Nümunə Sual 4
\( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \ tənliyi ilə hiperbola verilmişdir. Hiperbolanın üzərindəki \((5, 0)\) nöqtəsindəki toxunan xəttin tənliyini təyin edin.
Müzakirə
√(x_1, y_1)√) nöqtəsində √(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolasına toxunan xəttin tənliyi belədir:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\(a = 5 \) və \(b = 4 \) ilə, \(a \), \(b \) qiymətlərini və \((5, 0)\ nöqtəsini əvəz edin:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
Beləliklə, hiperbola toxunan xəttin tənliyi \(x = 5 \)-dir.
Nəticə
Konik kəsiklərə toxunanlar riyaziyyatda və müxtəlif praktik tətbiqlərdə mühüm rol oynayır. Dairələr, ellipslər, parabolalar və hiperbolalar kimi müxtəlif konik kəsiklərə toxunanların tənliklərini necə tapmağı anlamaq hesablama və analitik həndəsə sahəsində vacib bir bacarıqdır. Yuxarıdakı nümunələr və müzakirələrlə oxucuların konik kəsiklərə toxunanların təyin edilməsi üçün anlayışları və metodları daha yaxşı başa düşəcəklərinə ümid edilir.
