Binomial Paylanmanın Nümunə Sualları və Müzakirələri
Binomial paylanma ən çox istifadə edilən diskret ehtimal paylanmalarından biridir. Hər biri ya uğur, ya da uğursuzluqla nəticələnən bir sıra eyni, müstəqil sınaqlar üzrə uğur sayını modelləşdirmək üçün faydalıdır. Bu məqalədə bir neçə nümunə və ətraflı müzakirə təqdim etməklə binomial paylanmanı daha dərindən araşdıracağıq.
Binomial Paylanmaya Giriş
Binomial paylanmanın əsas xüsusiyyətləri:
1. n: Sınaqların və ya təkrarların sayı.
2. p: Hər sınaqda uğur ehtimalı.
3. q = 1-p: Hər sınaqda uğursuzluq ehtimalı.
Binomial paylanmanın ehtimal kütlə funksiyası aşağıdakı kimidir:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
Harada:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Uğurların sayını təmsil edən təsadüfi dəyişən.
– \( k \): Axtarılan uğurların sayı.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Binomial paylanma anlayışını daha ətraflı başa düşmək üçün bəzi nümunə məsələlərdən başlayaq.
Nümunə 1: Tələbə Qrupundan Seçim
Misal üçün, fərz edək ki, 10 tələbədən ibarət qrupumuz var və hər bir tələbənin yarışmada iştirak etmək üçün seçilmə ehtimalı 0,3-dür. Tam 4 tələbənin seçilmə ehtimalını bilmək istəyirik.
Addım 1: Binomial paylanmanın parametrlərini müəyyən edin.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Addım 2: Binomial paylanmadan istifadə edərək \(X = 4 \) ehtimalını hesablayın.
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
\( {10 \choose 4} \ hesablanır):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
İndi \( (0.3)^4 \) və \( (0.7)^6 \)-ni hesablayın:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Belə ki,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \təxminən 0.20012 \]
Beləliklə, tam 4 tələbənin seçilmə ehtimalı təxminən 0.20012 və ya 20.012%-dir.
Nümunə 2: Ehtimal 2-dən kiçik və ya bərabərdir
Məsələn, bizdən 2-dən az və ya bərabər tələbənin seçilmə ehtimalı soruşulur.
Addım 1: \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \) və \(P(X = 2) \) hesablamalıyıq.
– \(P(X = 0) \) üçün:
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \seçin 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \(P(X = 1) \) üçün:
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \seçin 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \(P(X = 2) \) üçün:
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \seçin 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Addım 2: Ehtimalları toplayın.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Beləliklə, 2-dən az və ya bərabər tələbənin seçilmə ehtimalı təxminən 0.7740671 və ya 77.41%-dir.
Nümunə 3: Ən azı 8 ehtimalı
Əgər bir təcrübə 12 dəfə aparılarsa və hər sınaqda uğur ehtimalı 0.5 olarsa, ən azı 8 uğurun baş vermə ehtimalı nədir?
Addım 1: Binomial parametrləri təyin edin: \( n = 12, p = 0.5 \).
Addım 2: \(X \geq 8 \) üçün ehtimalı tapın.
Bunun üçün bir neçə fərdi ehtimalın hesablanması və onların cəmlənməsi tələb olunur:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Bir-bir sayın:
– \(P(X = 8) \) üçün:
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \seçin 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \(P(X = 9) \) üçün:
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \seçin 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \(P(X = 10) \) üçün:
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \seçin 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \(P(X = 11) \) üçün:
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \seçin 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \(P(X = 12) \) üçün:
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \seçin 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Addım 3: Bütün ehtimalları əlavə edin.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \təqribən 0.1938477 \]
Beləliklə, 12 sınaqda ən azı 8 uğurun baş vermə ehtimalı təxminən 0.1938477 və ya 19.38%-dir.
Nəticə
Binomial paylanma statistikada bir çox praktik tətbiqlərdə vacib olan fundamental bir anlayışdır. Yuxarıdakı nümunələrdə göstərildiyi kimi, binomial paylanmanın müxtəlif halları üçün ehtimalların necə hesablanacağını anlamaqla, bu anlayışı real həyat vəziyyətlərində tətbiq edə bilərik. Bu məşq həmçinin ehtimal strukturlarının aydın və mütəşəkkil bir kontekstdə necə işlədiyini anlamağımızı gücləndirir.
