Hesab Ardıcıllıqlarını Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Arifmetik ardıcıllıqlar riyaziyyatda müxtəlif imtahanlarda və real həyat tətbiqlərində tez-tez rast gəlinən fundamental bir anlayışdır. Arifmetik ardıcıllıq, ardıcıl iki termin arasında sabit fərq olan ədədlər ardıcıllığıdır. Bu məqalədə, hərtərəfli izahlarla müşayiət olunan bir neçə nümunə məsələsi vasitəsilə arifmetik ardıcıllıqlar anlayışını daha dərindən araşdıracağıq.
Təriflər və Qeydlər
Nümunə məsələlərə keçməzdən əvvəl, hesab ardıcıllıqlarında tez-tez istifadə olunan qeydləri başa düşmək vacibdir. Əgər \(a\) birinci həddirsə və \(d\) ortaq fərqdirsə (sabit fərq), onda hesab ardıcıllığı aşağıdakı kimi yazıla bilər:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Bu ardıcıllığın n-ci həddi (Un) aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Aşağıda hesab ardıcıllıqlarını daha asan başa düşmək üçün bir neçə nümunə sual və onların müzakirələri verilmişdir.
Nümunə Sual 1
Sual:
Birinci həddi \(a = 5\) və ortaq fərqi \(d = 3\) olan hesab ardıcıllığı verilir. Ardıcıllığın 10-cu həddini təyin edin.
Müzakirə:
n-ci həd üçün ümumi düsturdan istifadə edərək, yəni \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Beləliklə, ardıcıllığın 10-ci həddi 32-dir.
Nümunə Sual 2
Sual:
Beşinci həddi 20, səkkizinci həddi isə 35 olan hesab ardıcıllığı verilir. Ardıcıllığın birinci həddini (a) və ortaq fərqini (d) təyin edin.
Müzakirə:
Sualdan bilirik ki:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
\(a\)-ı aradan qaldırmaq üçün hər iki tənliyi çıxın:
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3 gün = 15 \]
\[ d = 5 \]
İndi \(d = 5\) əvəzini \(a\) tapmaq üçün istifadə edirik:
\[ a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Beləliklə, ardıcıllığın ilk həddi 0, fərqi isə 5-dir.
Nümunə Sual 3
Sual:
Birinci həddi \(a = 2\) və ortaq fərqi \(d = 4\) olan hesab ardıcıllığının ilk 20 həddi cəmi nə qədərdir?
Müzakirə:
Arifmetik ardıcıllığın ilk n üzvünün cəmi aşağıdakı düsturla hesablana bilər:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Bu xətt üçün:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \solt( 4 + 76 \sağ) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
Beləliklə, ardıcıllığın ilk 20 üzvünün cəmi 800-dür.
Nümunə Sual 4
Sual:
Arifmetik ardıcıllığın üçüncü həddi 15, yeddinci həddi isə 27-dir. Ardıcıllığın 12-ci həddini tapın.
Müzakirə:
Əvvəlcə \(a\) və \(d\) qiymətlərini tapmalıyıq. Sualdan bilirik ki:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
\(a\)-ı aradan qaldırmaq üçün hər iki tənliyi çıxın:
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4 gün = 12 \]
\[ d = 3 \]
İndi \(d = 3\) əvəzini \(a\) tapmaq üçün istifadə edirik:
\[ a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
12-ci həddi tapmaq üçün n-ci həd düsturundan istifadə edin:
\[ U_{12} = a + 11gün \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Beləliklə, ardıcıllığın 12-ci həddi 42-dir.
Nümunə Sual 5
Sual:
Birinci həddi \(a\) və ortaq fərqi \(d\) olan hesab ardıcıllığı ilk 10 hədin cəminə, yəni 55-ə bərabərdir. Əgər \(d = 1\) olarsa, birinci həddi \(a\) təyin edin.
Müzakirə:
\(d = 1\) və \(S_{10} = 55\) verilənlər əsasında. İlk hədlərin cəmi üçün düsturdan istifadə edin:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
n = 10 üçün:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Beləliklə, ardıcıllığın ilk həddi 1-dir.
Nəticə
Arifmetik ardıcıllıqlar riyaziyyatda müxtəlif sahələrdə son dərəcə faydalı olan fundamental bir anlayışdır. Bu məqalədə biz arifmetik ardıcıllıqların bir neçə nümunəsini və onların həllini müzakirə etdik. Arifmetik ardıcıllıqların düsturlarını və əsas xüsusiyyətlərini yaxşı başa düşmək bu mövzu ilə əlaqəli müxtəlif tipli məsələlərin həllində çox faydalı olacaqdır.
Yuxarıdakı kimi nümunələri tətbiq etməklə, hesab ardıcıllığı ilə bağlı məsələləri həll etməkdə daha bacarıqlı və daha sürətli olacağınıza ümid edilir.
