Nümunə suallar və törəmələrdə zəncir qaydasının müzakirəsi
Zəncir qaydası, iki və ya daha çox funksiyadan ibarət olan bir funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün istifadə olunan diferensial hesablamalarda ən fundamental anlayışlardan biridir. Bu məqalədə zəncir qaydasının əsas anlayışını, ondan necə istifadə edəcəyini və həm orta məktəbdə, həm də kollecdə tez-tez ortaya çıxan törəmə məsələlərində istifadəsinə dair nümunələri müzakirə edəcəyik.
1. Zəncir Qaydasına Giriş
Nümunə məsələsinə keçməzdən əvvəl, əvvəlcə zəncir qaydasının nə olduğunu anlayaq. Zəncir qaydasında deyilir ki, əgər iki diferensiallana bilən funksiyamız varsa \( f \) və \( g \) və \( h = f( g( x )) funksiyalarının tərkibinin törəməsini tapmaq istəyiriksə, onda \( h \)-nin törəməsi belədir:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Sadə dillə desək, xarici funksiyanın törəməsini g(x) üzərində hesablayırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsinə vururuq \(g(x) \).
2. Kompozisiyanın Funksiyasını Anlamaq
Nümunə məsələlərinə keçməzdən əvvəl, kompozisiya funksiyalarını başa düşmək vacibdir. Kompozisiya funksiyası bir funksiyanı digərinə daxil etməklə əldə edilən funksiyadır. Məsələn, əgər \(f(x) = \sin(x) \) və \(g(x) = x^2 \) olarsa, onda iki funksiyanın tərkibi \(h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) olacaq.
Kompozisiya funksiyalarında biz tez-tez \(g(x) \)-ni “daxili funksiya”, \(f(x) \)-ni isə “xarici funksiya” kimi düşünürük. Bu nümunədə daxili funksiya \(x^2 \), xarici funksiya isə sinusdur.
3. Nümunə Suallar və Müzakirə
Gəlin zəncir qaydasından istifadə edərək həll edən bəzi nümunə məsələlərə nəzər salaq.
Nümunə 1:
y = y(3x^2)) funksiyası verilmişdirsə, y-nin x-ə görə ilk törəməsini tapın.
Müzakirə:
Əvvəlcə daxili və xarici funksiyaları müəyyən edirik. Burada daxili funksiya \(g(x) = 3x^2 \), xarici funksiya isə \(f(g) = \cos(g) \)-dir.
Biz bilirik:
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
Zəncir qaydasına görə, əldə edirik:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Beləliklə, \( y = \cos(3x^2) \)-nin törəməsi belədir:
\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]
Nümunə 2:
\(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \)-nin ilk törəməsini tapın.
Müzakirə:
Burada daxili funksiya \(g(x) = 5x^3 + 2x \), xarici funksiya isə \(f(g) = e^g \)-dir.
Biz bilirik:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Zəncir qaydasına görə, əldə edirik:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
Beləliklə, \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \)-nin törəməsi belədir:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Nümunə 3:
y = ln(4x^2 – 5) ^ 2-nin ilk törəməsini tapın.
Müzakirə:
Daxili funksiya \(g(x) = 4x^2 – 5 \), xarici funksiya isə \(f(g) = \ln(g) \)-dir.
Biz bilirik:
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
Zəncir qaydasına görə, əldə edirik:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Beləliklə, \( y = \ln(4x^2 – 5) \)-nin törəməsi belədir:
\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Nümunə 4:
y = (3x^2 + 2x + 1)^4) funksiyası verilən halda, onun törəməsini tapın.
Müzakirə:
Daxili funksiya \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \), xarici funksiya isə \(f(g) = g^4 \)-dir.
Biz bilirik:
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
Zəncir qaydasına görə, əldə edirik:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Beləliklə, \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \)-ün törəməsi belədir:
\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Xüsusi Hallar və Zəncir Qaydalarının İnkişafı
Bəzən zəncir qaydası yalnız iki funksiyanın tərkibi ilə məhdudlaşmır. Elə vaxtlar olur ki, bir funksiya ikidən çox funksiyanın tərkibidir, məsələn: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Üç funksiya üçün zəncir qaydası təbəqələrə tətbiq oluna bilər:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Görə bilərik ki, hər təbəqədə daxili təbəqələrin törəmələrinə keçməzdən əvvəl xarici təbəqələrin törəmələrini hesablayırıq.
Nümunə 5:
y = ln(2x^2 + 1)} ^ verilən halda, onun törəməsini tapın.
Müzakirə:
Ən daxili funksiya √(k = 2x^2 + 1), orta funksiya √(g = √(k)) və xarici funksiya √(f = √(g))-dir.
Biz bilirik:
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Zəncir qaydasını təbəqələrdə tətbiq edək:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Beləliklə, \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \)-nin törəməsi belədir:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulan
Zəncir qaydası, xüsusən də funksiyaların tərkibi ilə məşğul olduqda, diferensial hesablamalarda mühüm rol oynayır. Zəncir qaydasını anlamaq və mənimsəmək, hesablamalarda daha mürəkkəb problemlərin həlli üçün möhkəm təməl yaradır. Bu məqalədə zəncir qaydasının törəmələrə tətbiqini möhkəm şəkildə anlamaq üçün bir neçə vacib nümunə müzakirə edilmişdir. Ümid edirik ki, bu müzakirə tələbələr üçün faydalı olacaq və müxtəlif çətin riyazi vəziyyətlərə tətbiq oluna bilər.
