Törəmələrin tətbiqi ilə bağlı müzakirə sualına nümunə
Törəmə, gündəlik həyatda və fizika, iqtisadiyyat, biologiya və mühəndislik kimi digər elm sahələrində çoxsaylı tətbiqlərə malik olan hesablamanın fundamental bir anlayışıdır. Bu məqalədə bir neçə nümunə məsələsini müzakirə edəcəyik və törəmələrin tətbiqlərini, xüsusən də optimallaşdırma və funksiya təhlili kontekstində müzakirə edəcəyik.
Törəmə Tətbiqlərə Giriş
Funksiyanın törəməsi, əsasən, həmin funksiyanın müstəqil dəyişəninə nisbətən dəyişmə sürəti haqqında məlumat verir. Ən sadə nümunə, zamana görə mövqenin törəməsi olan sürətdir. Daha geniş mənada, törəmələrdən funksiyanın maksimum və minimum dəyərlərini tapmaq, funksiyanın artdığı və ya azaldığı intervalları müəyyən etmək və funksiyanın xüsusiyyətləri və qrafik davranışı haqqında məlumat vermək üçün istifadə etmək olar.
Nümunə Sual 1: Maksimum və Minimum Dəyərlərin Tapılması
Sual:
√f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 √ funksiyasının maksimum və minimum nöqtələrini təyin edin.
Müzakirə:
1. Birinci törəmənin tapılması:
Kritik nöqtələri tapmaq üçün funksiyanın ilk törəməsini tapmalı və onu sıfıra bərabərləşdirməliyik.
\[
f'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]
2. Tənliyi həll edin:
Tənliyi faktorlaşdırırıq:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
Buna görə də, \(x = 0 \) və \(x = 2 \) nöqtələrində kritik nöqtələr əldə edirik.
3. İkinci törəməni təhlil edin:
Kritik nöqtələrin maksimum və ya minima olduğunu müəyyən etmək üçün funksiyanın ikinci törəməsini tapmalıyıq:
\[
f”(x) = 6x – 6
\]
Kritik nöqtələrdə qiymətləndirmə:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 \, (\text{negativ, deməli\ } x = 0 \text{\ lokal maksimumdur})
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 \, (\text{müsbət, deməli\ } x = 2 \text{\ lokal minimumdur})
\]
4. Maksimum və minimum dəyərləri hesablayın:
Kritik nöqtələri orijinal funksiya ilə əvəz edin:
\[
f(0) = 0^3 – 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 \, (\text{maximum})
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 \, (\text{minimum})
\]
Beləliklə, \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) funksiyasının \( (0, 4) \) nöqtəsində lokal maksimumu və \( (2, 0) \) nöqtəsində lokal minimumu var.
Nümunə Sual 2: Məhdudiyyətlərlə Optimallaşdırma
Sual:
Fermer çayın kənarında düzbucaqlı bir hasar tikmək istəyir. 100 metr hasar verildikdə, hasarın sahəsini maksimum dərəcədə artırmaq üçün onun ölçülərini təyin edin.
Müzakirə:
1. Tənlik qurun:
Tutaq ki, çaya paralel olan hasarın uzunluğu \(x \) metr, eni isə \(y \) metrdir. Bir tərəfi çayla həmsərhəd olduğundan, tələb olunan hasar üç tərəf üçündür.
\[
2y + x = 100
\]
2. Maksimum sahəni tapın:
Qəfəsin sahəsi \( A \):
\[
A = x \cdot y
\]
Hasar tənliyindən \( y \)-ni \( x \) ilə ifadə edə bilərik:
\[
y = \frac{100 – x}{2}
\]
Beləliklə, sahə üçün tənlik aşağıdakı kimi olur:
\[
A(x) = x \cdot \frac{100 – x}{2} = 50x – \frac{x^2}{2}
\]
3. Birinci törəmənin tapılması:
Maksimum dəyəri tapmaq üçün \( A(x) \)-nin ilk törəməsini tapırıq:
\[
A'(x) = 50 – x
\]
Sıfıra bərabərləşdirmə:
\[
50 – x = 0 \x = 50 deməkdir
\]
4. \(y\)-nin qiymətini hesablayın:
Tənliyə \(x = 50 \) əvəz edin:
\[
y = \frac{100 – 50}{2} = 25
\]
Beləliklə, maksimum sahəni təmin edən qəfəsin ölçüləri uzunluğu 50 metr, eni isə 25 metrdir.
Nümunə Sual 3: Maksimum Sürətin Təyin Edilməsi
Sual:
Zərrəcik, mövqeyi zaman funksiyası ilə ifadə olunan düz xətt boyunca hərəkət edir \( s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1 \). Zərrəciyin maksimum sürətini təyin edin.
Müzakirə:
1. Sürəti (mövqe törəməsini) təyin edin:
Bir hissəciyin sürəti zamana görə mövqeyin ilk törəməsidir:
\[
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]
2. İkinci törəməni təyin edin:
Maksimum nöqtələri tapmaq üçün ikinci törəməni tapırıq:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]
3. Kritik nöqtəni tapmaq:
Sürətin birinci törəməsini sıfıra bərabərləşdirərək:
\[
3t^2 – 12t + 9 = 0
\]
3-ə bölün:
\[
t^2 – 4t + 3 = 0
\]
Faktorinq:
\[
(t – 3)(t – 1) = 0
\]
Beləliklə, kritik nöqtələr \(t = 1 \) və \(t = 3 \)-dür.
4. Maksimumu tapmaq üçün sürətlənməni təhlil edin:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 \ifadə edir t = 1 \text{\ lokal maksimumdur}
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 \imayəsindədir t = 3 \text{\ lokal minimumdur}
\]
5. Maksimum sürətin hesablanması:
Sürət tənliyinə \(t = 1 \) əvəz edin:
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{maraqlı deyil})
\]
Ən yaxşı həlli təmin etmək üçün digər müvafiq limitləri və ya interval nöqtələrini yoxlayın.
Bu addımlarla yuxarıdakı müxtəlif tətbiq problemləri üçün törəmə əsaslı həll nümunəsi qura bilərik.
Nəticə
Yuxarıdakı nümunələr törəmələrin müxtəlif kontekstlərdə problemləri həll etmək üçün necə istifadə oluna biləcəyini göstərir. Maksimum və minimum dəyərlərin tapılması, məhdud optimallaşdırma və hərəkət təhlili törəmələr anlayışının tətbiqinin yalnız bir neçəsidir. Bu texnika və metodlara yiyələnmək qabaqcıl riyaziyyat və əlaqəli fənləri öyrənənlər üçün vacibdir.
