صيغة الزخم الزاوي
بنداهولوان
الزخم الزاوي مفهومٌ هام في الفيزياء، يرتبط بالحركة الدورانية للأجسام. وهو يُشابه الزخم الخطي في الحركة الانتقالية. يلعب الزخم الزاوي دورًا محوريًا في مختلف فروع الفيزياء، من الميكانيكا الكلاسيكية إلى ميكانيكا الكم. ستتناول هذه المقالة تعريف الزخم الزاوي، والصيغ الرياضية المتعلقة به، وتطبيقاته في الحياة اليومية، بالإضافة إلى أمثلة توضيحية لتعميق فهمه.
تعريف الزخم الزاوي
الزخم الزاوي كمية متجهة تصف ميل الجسم إلى الاستمرار في الدوران حول نقطة أو محور. يعتمد الزخم الزاوي (\(\vec{L}\)) على عاملين رئيسيين: الزخم الخطي (\(\vec{p}\)) والموقع النسبي (\(\vec{r}\)) لنقطة مرجعية. يُعرَّف الزخم الزاوي كما يلي:
\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \]
أين:
- \(\vec{L}\) هو الزخم الزاوي.
- \(\vec{r}\) هو متجه الموضع بالنسبة إلى نقطة المرجع.
- \(\vec{p}\) هو الزخم الخطي (\(\vec{p} = m \vec{v}\)، حيث \(m\) هي الكتلة و\(\vec{v}\) هي السرعة).
يمثل الرمز \(\times\) الضرب الاتجاهي بين متجهين.
صيغة الزخم الزاوي
بالنسبة لجسم صلب يدور بسرعة زاوية (ω) حول محور ثابت، يمكن التعبير عن الزخم الزاوي (L) على النحو التالي:
\[ L = I \omega \]
أين:
- يمثل \(L\) الزخم الزاوي.
- (I) هو عزم القصور الذاتي للجسم حول محور الدوران.
- \(\omega\) هي السرعة الزاوية.
عزم القصور الذاتي
عزم القصور الذاتي (I) هو مقياس لمقاومة الجسم للتغيرات في حركته الدورانية. يعتمد عزم القصور الذاتي على توزيع كتلة الجسم بالنسبة لمحور الدوران. بالنسبة للأجسام الصلبة، يمكن حساب عزم القصور الذاتي باستخدام الصيغة التالية:
\[ I = \sum m_i r_i^2 \]
أين:
– \(m_i\) هي كتلة الجسيم رقم \(i\).
- \(r_i\) هي المسافة بين الجسيم رقم \(i\) ومحور الدوران.
بالنسبة للأجسام البسيطة، فإن لعزم القصور الذاتي صيغة خاصة به. ومن الأمثلة على ذلك:
- الأسطوانة المجوفة: \(I = mr^2\)
- الأسطوانة الكاملة: \(I = \frac{1}{2} mr^2\)
– الكرة الكاملة: \(I = \frac{2}{5} mr^2\)
مبدأ حفظ الزخم الزاوي
ينص مبدأ حفظ الزخم الزاوي على أنه إذا لم يؤثر عزم خارجي على نظام ما، فإن الزخم الزاوي الكلي للنظام سيظل ثابتًا. وهذا يعني:
\[ \vec{L}_{start} = \vec{L}_{end} \]
atau
\[ I_{initial} \omega_{initial} = I_{final} \omega_{final} \]
يُعد هذا المبدأ بالغ الأهمية في العديد من الظواهر الفيزيائية، مثل حركة الكواكب، ودوران الراقصين، واستقرار الجيروسكوبات.
تطبيقات الزخم الزاوي في الحياة اليومية
الحركة الكوكبية
تدور الكواكب في المجموعة الشمسية حول الشمس وتمتلك زخمًا زاويًا شبه ثابت. يمكن أن تُحدث تغيرات طفيفة في الزخم الزاوي تغيرات في مدار الكوكب. ويعود ذلك إلى أن قوة الجاذبية المؤثرة على الكوكب لا تُنتج عزم دوران محصل، مما يُبقي الزخم الزاوي ثابتًا.
راقصة باليه تؤدي حركة البيرويت
تستطيع راقصة الباليه زيادة سرعة دورانها بتقريب ذراعيها وساقيها من جسمها. وذلك لأن عزم القصور الذاتي يتناقص، لذا للحفاظ على زخم زاوي ثابت، يجب زيادة السرعة الزاوية.
جيروسكوب
الجيروسكوب هو جهاز يستخدم مبدأ الزخم الزاوي للحفاظ على الاستقرار. تُستخدم الجيروسكوبات في تطبيقات متنوعة، مثل الطائرات والسفن والملاحة عبر الهواتف الذكية.
أمثلة على الأسئلة والحلول
مثال على السؤال 1
يدور قرص كتلته 2 كجم ونصف قطره 0,5 متر بسرعة زاوية قدرها 10 راديان/ثانية. احسب الزخم الزاوي للقرص.
حل:
يُعطى عزم القصور الذاتي للقرص (I) بالصيغة التالية:
\[ I = \frac{1}{2} mr^2 \]
أدخل القيم المعطاة:
\[ I = \frac{1}{2} \times 2 \, \text{kg} \times (0,5 \, \text{m})^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 0,25 = 0,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \]
الزخم الزاوي (L) هو:
\[ L = I \omega = 0,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \times 10 \, \text{rad/s} = 2,5 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s} \]
مثال على السؤال 2
تدور متزلجة ذات عزم قصور ذاتي ابتدائي قدره 0,8 كجم·م² بسرعة زاوية قدرها 5 راديان/ثانية. إذا سحبت ذراعيها وانخفض عزم قصورها الذاتي إلى 0,4 كجم·م²، فما هي سرعتها الزاوية النهائية؟
حل:
باستخدام مبدأ حفظ الزخم الزاوي:
\[ I_{initial} \omega_{initial} = I_{final} \omega_{final} \]
أدخل القيم المعطاة:
\[ 0,8 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \times 5 \, \text{rad/s} = 0,4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \times \omega_{end} \]
\[ 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s} = 0,4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \times \omega_{end} \]
\[ \omega_{end} = \frac{4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}}{0,4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} = 10 \, \text{rad/s} \]
استنتاج
الزخم الزاوي مفهومٌ هامٌّ يرتبط بالحركة الدورانية للأجسام. تُشكّل الصيغتان الأساسيتان للزخم الزاوي، \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) و \(L = I \omega\)، أساسًا لفهم طيفٍ واسعٍ من الظواهر الفيزيائية. يُساعد مبدأ حفظ الزخم الزاوي في تفسير سلوك الأنظمة الدوّارة والتنبؤ به في العديد من الحالات، بدءًا من حركة الكواكب وصولًا إلى رقص الباليه. من خلال فهم مفهوم الزخم الزاوي وتطبيقاته، يُمكننا تقدير جمال الحركة الدورانية في الكون وتعقيدها بشكلٍ أفضل.
