قانون هوك والمرونة - المشاكل والحلول

قانون هوك والمرونة - المشاكل والحلول

التغير في الطول

1. قضيب طوله L، يُسحب بقوة F. مقدار الاستطالة ∆L. ما مقدار القوة إذا كان التغير في الطول 4∆L؟

معروف :

القوة 1 (F)₁) = ف

التغير في الطول 1 (∆L)₁) = ∆L

التغير في الطول 2 (∆L)₂) = 4 ΔL

مطلوب: القوة 2 (F)₂)

الحل:

معادلة قانون هوك

ك = F / ΔL

k = ثابت المرونة، F = القوة F، ΔL = التغير في الطول

k₁ = ك₂

F₁ / ΔL₁ = F.₂ / ΔL₂

F / ΔL = F₂ / 4ΔL

F / 1 = F₂ / 4

ف = ف₂ / 4

F₂ = 4F

2. تُوصَّل هذه النوابض على التوالي والتوازي، كما هو موضح في الشكل أدناه. للنابض الأول عزم ثابت مقداره 200 نيوتن/متر، وللنابض الثاني عزم ثابت مقداره 200 نيوتن/متر، وللنابض الثالث عزم ثابت مقداره 200 نيوتن/متر. كتلة الجسم 100 غرام. التسارع بسبب الجاذبية هي 10 م/ث²ما هو التغير في طول القادم معادل ربيع.

معروف :

أشياء كتلة (م) = 100 غرام = 0.1 كيلوغرام

k₁ = ك₂ = ك₃ = 200 نيوتن / م

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s²) = 1 كجم م/ث² = 1 نيوتن

مطلوب: التغير في طول معادل ربيع.

الحل:

حدد المكافئ ثابت الزنبرك:

الربيع 2 (ك₂) والنابض 3 (ك₃يتم توصيلها على التوازي. المكافئ ثابت الزنبرك:

k_p = ك₂ + ك₃ = 200 + 200 = 400 نيوتن متر^-1

الربيع 1 (ك₁) والنابض p (k_Pيتم توصيلها على التوالي. ثابت الزنبرك المكافئ:

1 / ك_s = 1/k_p + 1/k₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k_s = 400/3 نيوتن متر^-1

أي ما يعادل ثابت الزنبرك هو 400 / 3 Nm^-1

حدد التغير في طول القادم معادل ربيع :

معادلة قانون هوك:

∆x = F / k = w / k

التغير في طول القادم معادل ربيع :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 × 3/400 = 3/400 = 0.0075 م = 0.75 سم

ثابت الزنبرك

3. ما هو ثابت الزنبرك وفقًا للبيانات الواردة في الجدول أدناه؟

الحل:

معادلة قانون هوك:

k = F / Δx

ثابت الزنبرك:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 نيوتن/متر

4. ثلاثة نوابض موصولة على التوالي والتوازي كما هو موضح في الشكل أدناه. ثابت النابض k₁ = ك₂ = 3 نيوتن متر^-1 و ك₃ = 6 نيوتن متر^-1ما هو ثابت مكافئ الزنبرك؟

معروف :

ثابت الزنبرك 1 (k₁) = ثابت الزنبرك 2 (k₂) = 3 نيوتن متر^-1

ثابت الزنبرك 3 (k₃) = 6 نيوتن متر^-1

مطلوب: ثابت الزنبرك المكافئ (k)

الحل:

الربيع 1 (ك₁) والنابض 2 (ك₂يتم توصيلها على التوازي. ثابت الزنبرك المكافئ:

k_p = ك₁ + ك₂ = 3 + 3 = 6 نيوتن متر^-1

زنبرك p (k_P) والنابض 3 (ك₃ يتم توصيلها على التوالي. ثابت الزنبرك المكافئ:

1 / ك_s = 1/k_p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k_s = 6/2 = 3 نيوتن متر^-1

ثابت مكافئ الزنبرك = 3 نيوتن متر^-1.

5. نابض طوله L، مشدود بوزن w. وفقًا للبيانات الواردة في الجدول أدناه، ما هو ثابت النابض المكافئ؟

الحل:

k = F / Δx

ثابت الزنبرك:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 نيوتن/متر

6. وفقًا للبيانات الواردة في الجدول أدناه، ما هو ثابت الزنبرك المكافئ؟

الحل:

k = F / Δx = w / Δx = ملغ / Δx

k = ثابت المرونة، w = الوزن، m = الكتلة، g = تسارع الجاذبية الأرضية، Δx = التغير في الطول

ثابت الزنبرك:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 نيوتن/متر

7. إذا كان k₁ إذا كانت قيمة ثابت الزنبرك المكافئ تساوي 4 كيلوجول، فما هو ثابت الزنبرك المكافئ؟

الحل:

نابضان متصلان على التوازي. ثابت النابض المكافئ:

k_p = k + k = 2k

يتم توصيل نابضين على التوالي. ثابت النابض المكافئ

1 / ك_s = 1/k_p + 1/k₁ = 1 / 2ك + 1 / 4ك = 2 / 4ك + 1 / 4ك = 3 / 4ك

k_s = 4k/3

8. وفقًا للبيانات الواردة في الجدول أدناه، ما هو ثابت الزنبرك المكافئ؟

الحل:

معادلة قانون هوك:

k = F / ΔL

ثابت الزنبرك:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 نيوتن متر^-1

9. أصغر ثابت هو...

الحلول

معادلة قانون هوك:

k = F / Δx

k = ثابت المرونة، F = القوة، Δx = التغير في الطول

ثابت المرونة:

k_A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 نيوتن/متر

k_B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 نيوتن/متر

k_C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 نيوتن/متر

k_D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 نيوتن/متر

k_E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 نيوتن/متر

10. ما هو أكبر ثابت وفقًا للبيانات الواردة في الجدول أدناه؟

الحل:

معادلة قانون هوك:

k = F / Δx

k_A = 7 / 0.035 = 200 نيوتن متر^-1

k_B = 8 / 0.025 = 320 نيوتن متر^-1

k_C = 6 / 0.020 = 300 نيوتن متر^-1

k_D = 9 / 0.045 = 200 نيوتن متر^-1

k_E = 10 / 0.033 = 303 نيوتن متر^-1

أكبر ثابت هو 320 نيوتن متر^-1.

11. يوضح الرسم البياني أدناه العلاقة بين التغير في القوة (ΔF) والزيادة في الطول (Δx). ما هو الرسم البياني الذي يوضح أصغر ثابت للمرونةy.

الحلول

معادلة قانون هوك:

k = F / Δx

Δx = التغير في الطول، F = القوة، k = ثابت المرونة

ثابت المرونة:

k_A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k_B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k_C = F / Δx = 6 / 6 = 1

k_D = F / Δx = 3 / 5 = 0.6

k_E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. أي رسم بيانيh يمتلك أكبر ثوابت مرونة؟

الحل:

ثابت مرونة :

k_A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k_B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k_C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

k_D = F / Δx = 500 / 0.1 = 5000

k_E = F / Δx = 500 / 10 = 50

الطاقة الكامنة للنابض:

13.يوضح الرسم البياني أدناه العلاقة بين القوة و التغيير في طول الزنبرك. ما هي طاقة الوضع للنابض، وفقًا للرسم البياني أدناه؟

معروف :

إ = 40 نيوتن

س = 0.08 متر

مطلوب : استخدم طاقة الوضع للزنبرك

الحل:

ثابت الزنبرك:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 نيوتن/متر

الطاقة الكامنة للنابض:

طاقة الوضع = 1/2 kx² = ½ (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 جول

14. كتلة مقدارها 2 كجم معلقة بنابض. إذا كان مقدار الزيادة في طول النابض 5 سم، وكان تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ث²²ما هي طاقة الوضع للنابض؟

معروف :

الزيادة في الطول (Δx) = 5 سم = 0.05 متر

التسارع الناتج عن الجاذبية (g) = 10 م/ث²²

كتلة الكتلة (م) = 2 كجم

وزن الكتلة (w) = mg = (2)(10) = 20 نيوتن

مطلوب: الطاقة الكامنة للزنبرك

الحل:

ثابت المرونة:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 نيوتن/متر

الطاقة الكامنة للنابض:

طاقة الوضع = ½ k Δx² = ½ (400)(0.05)² = (200)(0.0025)

طاقة الوضع = 0.5 جول

15. يتغير طول الزنبرك بمقدار 5 سم عند سحبه بقوة 20 نيوتن. ما هي طاقة الوضع للزنبرك عندما يتغير طوله بمقدار 10 سم؟

معروف :

التغير في الطول (Δx) = 5 سم = 0.05 متر

القوة (F) = 20 نيوتن

مطلوب : الطاقة الكامنة للزنبرك

الحل:

ثابت الزنبرك:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 نيوتن/متر

الطاقة الكامنة للنابض عندما يكون Δx = 10 سم = 0.1 م:

طاقة الوضع = ½ k Δx² = ½ (400)(0.1)² = (200)(0.01)

طاقة الوضع = 2 جول

وزن الجسم

16. أربعة نوابض، ثابت كل منها 800 نيوتن/متر، موصولة على التوالي والتوازي كما هو موضح في الشكل. مُعلق كتلة عند كل نابض. التغير في طول جميع النوابض هو 5 سم. ما وزن الكتل؟

معروف :

k₁ = ك₂ = ك₃ = ك₄ = 800 نيوتن متر^-1

Δx = 5 سم = 0.05 م

مطلوب: وزن الكتلة (w)

الحل:

حدد ثابت الزنبرك المكافئ

الربيع 1 (ك₁)، الربيع 2 (ك₂) والنابض 3 (ك₃يتم توصيلها على التوازي. ثابت الزنبرك المكافئ:

k_p = ك₁ + ك₂ + ك₃ = 800 + 800 + 800 = 2400 نيوتن متر^-1

زنبرك p (k_P) والنابض 4 (ك₄يتم توصيلها على التوالي. ثابت الزنبرك المكافئ:

1 / ك_s = 1/k_p + 1/k₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k_s = 2400/4 = 600 نيوتن متر^-1

ثابت الزنبرك المكافئ هو 600 نيوتن متر^-1

حدد وزن الجسم:

معادلة قانون هوك:

F = k Δx أو w = k Δx

وزن الجسم:

w = (600 نيوتن متر^-1)(0.05 م) = 30 نيوتن

١٧. أربعة نوابض موصولة على التوالي والتوازي. ثابت كل نابض ١٦٠٠ نيوتن/متر. تم تعليق كتلة في نهاية كل نابض، كما هو موضح في الشكل. الزيادة في طول جميع النوابض ٥ سم. ما وزن الكتل؟

معروف :

k₁ = ك₂ = ك₃ = ك₄ = 1600 نيوتن متر^-1

Δx = 5 سم = 0.05 م

مطلوب: وزن الكتلة

الحل:

حدد ثابت الزنبرك المكافئ

الربيع 1 (ك₁)، الربيع 2 (ك₂) والنابض 3 (ك₃يتم توصيلها على التوازي. ثابت الزنبرك المكافئ:

k_P = ك₁ + ك₂ + ك₃ = 1600 + 1600 + 1600 = 4800 نيوتن متر^-1

زنبرك p (k_P) والنابض 4 (ك₄يتم توصيلها على التوالي. ثابت الزنبرك المكافئ:

1 / ك_s = 1/k_p + 1/k₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k_s = 4800/4 = 1200 نيوتن متر^-1

ثابت الزنبرك المكافئ هو 1200 نيوتن متر^-1

حدد وزن الجسم:

معادلة قانون هوك:

F = k Δx أو w = k Δx

وزن الجسم:

w = (1200 نيوتن متر^-1)(0.05 م) = 60 نيوتن

1. ما هو قانون هوك؟
   • الجواب: يصف قانون هوك العلاقة بين القوة المؤثرة على جسم مرن والتشوه الناتج (عادةً استطالة أو انضغاط). وبالتحديد، ينص على أن القوة اللازمة لضغط أو تمديد نابض تتناسب طرديًا مع المسافة التي يتم تمديده أو ضغطه بها، بشرط عدم تجاوز حد المرونة.
2. ماذا يعني عندما نقول إن مادة ما قد وصلت إلى حد مرونتها؟
   • الجواب: عندما تصل المادة إلى حد مرونتها، فهذا يعني أنها لن تعود إلى شكلها أو حجمها الأصلي بعد زوال قوة التشوه. بعد هذه النقطة، تتصرف المادة بشكل لدن وقد تتعرض لتشوه دائم.
3. كيف يرتبط ثابت الزنبرك (k) بصلابة الزنبرك؟
   • الجواب: ثابت الزنبرك (k) هو مقياس لصلابة الزنبرك. تشير القيمة الأكبر لـ k إلى زنبرك أكثر صلابة، مما يعني الحاجة إلى قوة أكبر لتشويهه بمقدار معين، بينما تشير القيمة الأصغر لـ k إلى زنبرك أكثر مرونة أو ليونة.
4. ما هي وحدات ثابت الزنبرك في النظام الدولي للوحدات (SI)؟
   • الجواب: في النظام الدولي للوحدات (SI)، وحدات ثابت الزنبرك (k) هي نيوتن لكل متر (N/m).
5. لماذا يُعتبر السلوك الذي يصفه قانون هوك خطيًا؟
   • الجواب: يُعتبر السلوك خطيًا لأن العلاقة بين القوة المؤثرة (F) والإزاحة (x) هي خط مستقيم، وتُعطى هذه العلاقة على النحو التالي: $F=kx$، حيث k ثابت لمادة أو زنبرك معين.
6. هل ينطبق قانون هوك على النوابض فقط؟
   • الجواب: لا، ينطبق قانون هوك على أي مادة مرنة تتشوه خطيًا مع القوة المؤثرة عليها، حتى حد مرونتها. ورغم أن النوابض مثال شائع، إلا أن مواد أخرى مثل الأربطة المطاطية والمعادن عند تعرضها لتشوهات طفيفة، وبعض الأنسجة البيولوجية، يمكن أن تُظهر أيضًا سلوكًا ينطبق عليه قانون هوك.
7. ماذا يحدث إذا تم تمديد مادة ما إلى ما بعد حد مرونتها ولكن ليس بما يكفي لكسرها؟
   • الجواب: إذا تم شد مادة ما إلى ما بعد حد مرونتها ولكن ليس إلى حد الكسر، فإنها ستخضع لتشوه لدن. وهذا يعني أنه عند إزالة القوة، لن تعود المادة إلى شكلها الأصلي تمامًا، وسيبقى بعض التشوه الدائم.
8. كيف ترتبط مفاهيم الإجهاد والضغط بقانون هوك؟
   • الجواب: الإجهاد هو القوة المؤثرة على وحدة المساحة، والانفعال هو التشوه النسبي للمادة. ينص قانون هوك، بدلالة الإجهاد والانفعال، على أن الإجهاد يتناسب طرديًا مع الانفعال، حيث يمثل ثابت التناسب معامل يونغ للمادة. هذه طريقة أخرى للتعبير عن العلاقة الخطية بين القوة والتشوه، ولكن للمواد الصلبة وليس فقط للزنبركات.
9. ما هو معامل يونغ وكيف يرتبط بالمرونة؟
   • الجواب: معامل يونغ، والذي يُرمز إليه عادةً بالحرف $E$معامل يونغ هو مقياس لصلابة المادة من حيث الشد أو الضغط. وهو يصف قدرة المادة على مقاومة التشوه تحت تأثير قوة خارجية. يشير معامل يونغ الأعلى إلى مادة أكثر صلابة، ويُعرَّف بأنه نسبة الإجهاد إلى الانفعال.
10. هل يمكن وصف جميع المواد بقانون هوك؟

• الجواب: لا، لا تخضع جميع المواد لقانون هوك. فالعديد من المواد، وخاصةً تلك غير الخطية أو اللزجة المرنة أو اللدنة، لا تُظهر علاقة خطية بين الإجهاد والانفعال. يُعد قانون هوك وصفًا مثاليًا، وهو أكثر دقةً في حالة التشوهات الصغيرة للمواد المرنة.