قانون جاوس

مقال عن قانون جاوس

بخصوص قانون كولومبتمت دراسة القوة بين الشحنات الكهربائية. وفي مراجعة للمجال الكهربائي، نوقشت صيغة أخرى لقانون كولوم، والتي يتم التعبير عنها بالمعادلة F = q E.

حيث F هي القوة الكهربائية، وq هي الشحنة الكهربائية، وE هو المجال الكهربائي. يمكن القول إن قانون كولوم هو قانون فيزيائي يفسر العلاقة بين الشحنة الكهربائية (q) والمجال الكهربائي (E).

قانون جاوس هو قانون فيزيائي آخر يفسر العلاقة بين الشحنات الكهربائية والمجالات الكهربائية. وقد صاغ قانون جاوس كلٌ من: كارل فريدريش جاوس (1777-1855)، عالم فيزياء ورياضيات نظري ألماني.

يمكن حساب المجال الكهربائي الناتج عن شحنة كهربائية واحدة أو عدة شحنات بسهولة باستخدام قانون كولوم، لكن الحساب يصبح أكثر تعقيدًا عند تحديد المجال الكهربائي الناتج عن توزيع الشحنات الكهربائية. يوفر قانون جاوس طريقةً أكثر سلاسةً لتحديد المجال الكهربائي الناتج عن توزيع الشحنات الكهربائية. علاوة على ذلك، إذا كان المجال الكهربائي معروفًا، فيمكن استخدام قانون جاوس لتحديد توزيع الشحنات الكهربائية التي تُنتج هذا المجال. فيما يلي استعراض لمفهوم قانون جاوس ومعادلته.

لنفترض وجود شحنة كهربائية موجبة في مركز الكرة كما هو موضح في الشكل الجانبي. إذا كان نصف قطر الكرة R، فإن شدة المجال الكهربائي الناتج عن الشحنة عبر الكرة هي E = kQ/R² ومساحة سطح الكرة هي A = 4πr².

لتمثيل المجال الكهربائي، تُرسَم خطوط المجال الكهربائي، ولكن في الشكل، لا يُمثَّل سوى أربعة خطوط. الشحنة الكهربائية موجبة، ولذلك تُرسَم خطوط المجال الكهربائي من مركز الكرة حيث توجد الشحنة.

ويكون كل خط من خطوط المجال الكهربائي عموديًا على سطح الكرة التي تمر من خلاله. وكلما ابتعدت الكرة عن الشحنة الكهربائية، قلّ المجال الكهربائي، وبالتالي زادت المسافة بين خطوط المجال الكهربائي.

يتم حساب التدفقات الكهربائية التي تخترق سطح الكرة باستخدام الصيغة التالية:

F = التدفق الكهربائي، Q = الشحنة الكهربائية، k = 9 × 10⁹ N م²/C²، ه_o (سماحية الفراغ) = 8.85 × 10^-12 C²نيوتن متر²، π = 3.14.

وبناءً على هذه المعادلة، يُستنتج أن التدفق الكهربائي (F) الذي يمر عبر سطح كروي يتناسب مع كمية الشحنة الكهربائية (Q) فيه ولا يعتمد على نصف قطر الكرة (R).

يوضح الشكل المجاور أربعة أسطح مغلقة تحمل شحنة كهربائية Q. السطح الأول دائري، بينما السطح الآخر ذو شكل غير منتظم. الشحنة الكهربائية موجبة، لذا فإن خطوط المجال الكهربائي الممثلة بالأسهم الأربعة تنطلق من الشحنة. تمر خطوط المجال الكهربائي الأربعة عبر السطح الدائري، كما تمر الأسطح الأخرى ذات الأشكال غير المنتظمة عبر هذه الخطوط الأربعة.

في مراجعة التدفق الكهربائي، ورد أن التدفق الكهربائي هو خطوط المجال الكهربائي التي تخترق مساحة سطحية محددة.

خطوط المجال الكهربائي التي تخترق الأسطح الأربعة متماثلة، لذا فإن التدفق الكهربائي على جميع الأسطح الأربعة له نفس المقدار. التدفق الكهربائي الذي يخترق السطح الكروي هو Φ = Q/ε_o بحيث يكون للتدفق الكهربائي الذي يخترق الأسطح الأخرى ذات الأشكال غير المنتظمة نفس المقدار، أي Φ = Q/ε_o.

بناءً على هذا التفسير، يمكن استنتاج أن التدفق الكهربائي الذي يخترق سطحًا مغلقًا يحتوي على شحنة كهربائية، لا يعتمد على شكل السطح، وأن مقداره يساوي Φ = 4πkQ = Q/ε_o.

يوضح الشكل المجاور شحنتين كهربائيتين داخل سطح مغلق. Q₁ و س₂ إيجابي بحيث إذا كانوا عند رسم خطوط المجال الكهربائي، يمتلك كل شحنة خط مجال كهربائي يخترق السطح من الداخل. التدفق الكهربائي الكلي هو العدد الإجمالي لخطوط المجال الكهربائي التي تخترق السطح المغلق. وذلك لأن خطوط المجال الكهربائي للشحنة Q₁ وهي تعادل التدفق الكهربائي Φ = Q₁/ε_o وخطوط المجال الكهربائي للشحنة Q₂

وهي قابلة للمقارنة مع التدفق الكهربائي Φ = Q₂/ε_o، العدد الإجمالي لخطوط المجال الكهربائي يساوي Q₁/ε_o + Q₂/ε_o = 1 / ε_o (Q₁ + Q₂).

بناءً على هذا التفسير، يمكن استنتاج أن التدفق الكهربائي الكلي يساوي 1/ε_o مضروبة في إجمالي الشحنة الكهربائية في السطح المغلق. هذه العبارة هي قانون جاوس. رياضياً:

Φ_صاف = 1/ε_o (Q_صافي) معادلة قانون جاوس

يمثل Q net إجمالي الشحنة الكهربائية الموجودة داخل سطح مغلق. إذا وُجدت شحنة كهربائية خارج السطح المغلق، فلا تُؤخذ هذه الشحنة في الحسبان لأن التدفق الكهربائي الناتج عنها يساوي صفرًا. ويعود سبب انعدام التدفق الكهربائي إلى أن خطوط المجال الكهربائي المنبعثة من الشحنة تخترق السطح المغلق ثم تخرج منه.

السطح المغلق لقانون جاوس هو السطح التخيلي المستخدم لحساب التدفق الكهربائي الناتج عن شحنة كهربائية.

يمكن استخدام قانون جاوس لتحديد المجال الكهربائي إذا عُرف توزيع الشحنة الكهربائية، أو لتحديد توزيع الشحنات الكهربائية إذا عُرف المجال الكهربائي. ويشرح المقال الخاص بتطبيقات قانون جاوس كيفية استخدامه لحل مسائل متنوعة.