مبدأ أرخميدس

مقال عن مبدأ أرخميدس

لا تغرق السفينة ذات الكتلة الهائلة، بينما قد يغرق الحجر الصغير. لماذا؟ الإجابة واضحة إذا فهمت مفهوم الطفو ومبدأ أرخميدس.

في حياتنا اليومية، نلاحظ أن الأجسام المغمورة في سائل، كالصخرة مثلاً، تكون أخف وزناً من الأجسام غير المغمورة. قد تجد صعوبة في رفع حجر من الأرض، بينما يرتفع الحجر نفسه بسهولة من قاع البحر. يعود ذلك إلى قوة الطفو. تنشأ قوة الطفو نتيجة لاختلاف ضغط السائل باختلاف الأعماق. يزداد ضغط السائل مع العمق، فكلما زادت كثافة السائل، زاد ضغطه. عند غمر جسم في سائل، ينشأ فرق في الضغط بين السائل أعلى الجسم والسائل أسفله. يكون ضغط السائل أسفل الجسم أعلى من ضغط السائل أعلاه.

في الشكل، يمكنك رؤية جسم يطفو على الماء. يكون ضغط السائل في أسفل الجسم أعلى من ضغط السائل الموجود في أعلاه. ويعود ذلك إلى أن السائل الموجود أسفل الجسم يقع على عمق أكبر من السائل الموجود أعلاه (p).₂ > ح₁).

مقدار ضغط السائل عند عمق h₂ هو:

مقدار ضغط السائل عند عمق h₁ هو:

F₂ = القوة التي يطبقها السائل في أسفل الجسم، F₁ = القوة التي يؤثر بها السائل على سطح الجسم، A = مساحة سطح الجسم

الفرق بين F₂ و F₁ هي القوة الكلية التي يؤثر بها السائل على الجسم، والتي تُعرف بقوة الطفو. مقدار قوة الطفو هو:

F _بشر = F.₂ - F₁

F _بشر = (ρ gh₂ أ) − (ρ gh₁ A)

F _بشر = ρ g A (h₂ - ح₁)

F _بشر = ρ F g A h

F _بشر = ρ F g V

ρ_F = كثافة السائل، g = تسارع الجاذبية، V = حجم الأجسام في السائل

لذا، يمكننا كتابة المعادلة التي تحدد مقدار الطفو (قوة الطفو) أعلاه:

F _بشر = ρ_F g V → m = ρ V

F _بشر = م_F g

F _بشر = و_F

m_F g = w_F = وزن السائل الذي له نفس حجم حجم الجسم المغمور.

بناءً على المعادلة أعلاه، يمكننا القول أن قوة الطفو تساوي وزن السائل المزاح، وحجم السائل المزاح مشابه لحجم الجسم المغمور في السائل.

إذا تم إدخال الجسم في السائل وهو يطفو، حيث يكون الجزء المُدخل من الجسم مجرد جزء،

إذن، حجم السائل المزاح يساوي حجم الجزء من الجسم المغمور في السائل. وبغض النظر عن ماهية الجسم وشكله، سيلاحظ الجميع نفس الشيء. هذا هو نتاج عمل أرخميدس (287-212 قبل الميلاد)، والمعروف بمبدأ أرخميدس.

ينص مبدأ أرخميدس على ما يلي:

عندما يتم غمر جسم ما كليًا أو جزئيًا في سائل، فإن السائل سيعطي قوة صاعدة (قوة الطفو) للجسم، حيث تساوي كمية القوة الصاعدة (قوة الطفو) وزن السائل المزاح.

قصة أرخميدس

كُلِّف أرخميدس، الذي عاش بين عامي 287 و212 قبل الميلاد، من قِبَل الملك هيرون الثاني بالتحقق مما إذا كان التاج المصنوع للملك مصنوعًا من الذهب الخالص أم لا. في البداية، احتار أرخميدس في تحديد ما إذا كان التاج مصنوعًا من الذهب الخالص أم يحتوي على معادن أخرى. تكمن المشكلة في أن شكل التاج غير منتظم، ولا يمكن تدميره أولًا لتحديد ما إذا كان مصنوعًا من الذهب الخالص أم لا.

تعتمد فكرة تحديد ما إذا كان التاج مصنوعًا من الذهب الخالص أم لا على قياس وزن التاج أولًا، ثم مقارنته بالكثافة النوعية للذهب. فإذا كان التاج مصنوعًا من الذهب الخالص، فإن كثافته النوعية تساوي الكثافة النوعية للذهب.

الكثافة النسبية لجسم ما هي النسبة بين وزن الجسم في الهواء ووزن الماء الذي له نفس حجم الجسم. رياضياً:

كيف يمكن تحديد وزن الماء الذي له نفس حجم الأجسام؟

بحسب أرخميدس، فإن وزن الماء الذي له نفس حجم الجسم يساوي مقدار قوة الطفو عندما يغرق الجسم (أي عندما يكون الجزء المغمور من الجسم مغمورًا بالكامل في الماء). وهذا هو نفسه وزن الأجسام المفقودة عند وزنها في الماء. لذلك:

لتحديد الكثافة النوعية للتاج، يُوزن التاج أولاً في الهواء (وزن التاج في الهواء). ثم يُغمر التاج في الماء ويُوزن مرة أخرى للحصول على مقدار فقدان الوزن.

بعد تحديد الكثافة النوعية للتاج، تُقارن بالكثافة النوعية للذهب. الكثافة النوعية للذهب = 19.3. إذا كانت الكثافة النوعية للتاج مساوية للكثافة النوعية للذهب، فإن التاج مصنوع من الذهب الخالص. أما إذا لم يكن التاج مصنوعًا من الذهب الخالص، فإن كثافته النوعية لا تُساوي الكثافة النوعية للذهب.

لماذا لا تغرق السفينة؟

إذا كانت كثافة جسم ما أقل من كثافة الماء، فسيطفو. وعلى العكس، إذا كانت كثافة جسم ما أكبر من كثافة الماء، فسيغرق. تُصنع معظم السفن من الحديد والصلب. كثافة الحديد والصلب = 7.8 × 10³ كجم / م³ بينما كثافة الماء = 1.00 × 10³ كجم / م³يبدو أن كثافة الحديد والصلب أكبر من كثافة الماء. في هذه الحالة، تبلغ الكثافة النسبية للحديد والصلب 7.8. من المفترض أن تغرق السفينة. فلماذا لا تغرق؟ لأن الكثافة الكلية للسفينة أقل من كثافة الماء أو مياه البحر.

مثال على المسألة 1:

حجر كتلته 40 كجم موجود في قاع بركة ماء. إذا كان حجم الحجر = 0.2 م³، فما هي أقل قوة لازمة لرفع الحجر؟

معروف:

كتلة الحجر (م) = 40 كجم

حجم الحجر (V) = 0.02 م³

كثافة الماء = 1000 كجم/م³³

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ث²²

مطلوب: الحد الأدنى

حل:

F _بشر = و_F

F _بشر = م_F g → m = pV

F _بشر = ρ_F ز الخامس

F _بشر = (1000 كجم/م³)(10 م/ث²)(0.02 م³)

F _بشر = 200 كجم م/ث²

F _بشر = 200 نيوتن

وزن الحجر (w) = ملغ

وزن الحجر = (40 كجم)(10 م/ث)²)

وزن الحجر = 400 كجم م/ث²

وزن الحجر = 400 نيوتن

الحد الأدنى من القوة اللازمة للرفع القادم الحجر:

وزن الحجر - قوة الطفو = 400 نيوتن - 200 نيوتن = 200 نيوتن

مثال على المسألة 2:

وزن الجسم في الهواء = 5000 كجم م/ث² ووزن الجسم في الماء = 4000 كجم م/ث²إذا كانت كثافة الجسم = 2000 كجم/م³³ ما هي كتلة وحجم الجسم؟ g = 10 م/ث²²

الحلول

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ث²²

كثافة الجسم = 2000 كجم/م³³

كثافة الماء = 1000 كجم/م³³

وزن الجسم في الهواء = 5000 كجم م/ث²

وزن الجسم في الماء = 4000 كجم م/ث²

قوة الطفو (F buoyancy) = وزن الجسم في الهواء - وزن الجسم في الماء

قوة الطفو = 5000 كجم م/ث² – 4000 كجم م/ث²

قوة الطفو = 1000 كجم م/ث²

قوة الطفو = وزن الماء المزاح

قوة الطفو = (كتلة الماء) × (جم)

قوة الطفو = (حجم الماء المزاح) × (كثافة الماء) × (g)

حجم الماء المزاح = حجم الجسم الموجود في الماء

حجم الجسم = 0.1 متر مكعب³

كتلة الجسم = ؟

ρ = م / ف

m = ρ V

م = (2000 كجم / م³)(0.1 م³)

م = 200 كجم

كتلة الجسم = 200 كجم

مثال على المسألة 3:

ما هو حجم الهيليوم المطلوب إذا كان على بالون أن يرفع حمولة وزنها 500 كجم؟

حل:

كثافة الهيليوم = 0.1786 كجم/م³³

كثافة الهواء = 1.293 كجم/م³³

قوة الطفو = وزن الهواء المزاح = وزن الجسم + وزن الهيليوم

قوة الطفو = وزن الجسم + وزن الهيليوم

قوة الطفو = (كتلة الحمولة)(g) + (كتلة الهيليوم)(g)

قوة الطفو = (كتلة الحمولة + كتلة الهيليوم)g —- المعادلة 1

قوة الطفو = وزن الهواء المزاح

قوة الطفو = (كتلة الهواء المزاح) × (g) —- المعادلة 2

نجمع المعادلة 1 والمعادلة 2:

(كتلة الحمولة + كتلة الهيليوم) (جم) = (كتلة الهواء الذي تم إزاحته) (جم)

كتلة الحمولة + كتلة الهيليوم = كتلة الهواء المزاح

500 كجم + (ρ هيليوم)(V هيليوم) = (ρ ماء)(V ماء)

500 كجم = (ρ ماء)(V ماء) – (ρ هيليوم)(V هيليوم)

حجم الهواء المزاح (V air) = حجم الهيليوم في البالون (V helium)

500 كجم = (ρ ماء – ρ هيليوم)(V)

هذا هو الحد الأدنى من حجم الهيليوم اللازم لرفع الأثقال على سطح الأرض. ولرفع البالون إلى ارتفاع أعلى، يجب زيادة حجم الهيليوم. يجب زيادة حجم الهيليوم لأن كثافة الهواء تقل مع الارتفاع.